Đề thi Thi vào đại học quốc gia Hà Nội - Đại học khoa học tự nhiên

Thi vào Đại HọcQuốc Gia Hà nội-Đại Học KHoa học Tự nhiên
Vòng 1(Ngày 12 tháng 6 năm 2008)
Câu 1 
1)Giải hệ phương trình 
2)Giải phương trình 
Giải
1)
Từ 1 ta có: lấy PT(1) trừ PT (2) ta được PT
 (x-1)2(2-x)+y2(1-y)=0 (*)
ta thấy 
để PT(*) thoả mãn thì
để thoả mãn hệ ban đầu ta có các nghiệm sau (x;y)=(2;0);(1;1)
2)ĐKXĐ: 
PT(2) vô nghiệm
Vậy PT(1) có 2 nghiệm đều thoả mãn ĐKXĐ
Câu 2 
Tìm tất cả các số có 4 chữ số : thoả mãn đồng thời 2 điều kiện
 chia hết cho 3 và 
Tìm tất cả các số nguyên p sao cho phương trình 
 2x2  -(p+1)x+p+2008=0 có các nghiệm là các số nguyên
Giải:
a) (100a-90b-10d)+(c-a)=650 (*)
vì c=a nên (*) 10a-9b-d =65(10a-10b)+(b-d)=65(b-d) 5
 mà b-d từ 10a-9b-d =65 thì b; nên b-d<5
*Nếu b=2 thì d=2 hoặc 7
 10a-9b-d =65
=9297 Thoả mãn 
*Nếu b=1 thì d=1 hoặc 6
10a-9b-d =65
=8186 không loại 
* Nếu b=0 thì d=0 hoặc 5 
10a-9b-d =65
=7075 không loại 
Vậy =9297
b) Giả sử phương trình 2x2  -(p+1)x+p+2008=0 có 2 nghiệm x1;x2 đều là số nguyên 
Theo định lý Vi-ét ta có
Theo GT x1,x2, p là số nguyên nên Từ (1) ta có P lẻ;từ (2) ta có p chẵn 
 suy ra không tìm được P thoả mãn cả 2 điều kiện trên
Câu 3:
1)Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ,BO,CO cắt AN,AM tại K và I 
Ta có ABH=CAH ( cùng phụ với ACH) suy ra B1=A1
Ta có BAK+A1=900 BAK+B1=900 
trong BAK có BAK+B1=900 BKA=900 hay BKAN
xét BAN có BK là trung trực của AN (1) 
Tương tự ta có CI là trung trực của AM (2) mà BK cắt CI tại O (3)
Từ (1);(2);(3) ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp AMN (đpcm)
Gọi d1,d2 lần lượt là đường thẳng vuông góc với BC tại M;N .
Chứng minh rằng 
 d1,d2 tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Ta có OM=ON nên OMN cân tại O có OR là đường cao nên OR là trung tuyến suy ra RM=RN=OP=OQ ta chứng minh được nên OP=OQ=OR nên P và Q đều thuộc đường tròn (O;OR) hay nên 
d1;d2 tiép xúc với (O;OR) (đpcm)
Câu 4 Giả sử a,b là các số nguyên dương thay đổi thoả mãn 
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Giải
Từ (*) ta có tồn tại ít nhất a hoặc b nhỏ hơn 3 vì nếu 
thì (2a-3)(2b-3)9 mâu thuẫn với (*)
-Giả sử 0<a<3 xét a=1 thì 
xét a=2 thay vào (*) (2a-3)(2b-3)=2b-3<5 suy ra b<4
thay a=2 vào P ta có 
để P lớn nhất thì b lớn nhất mà b nguyên b<4 suy ra b lớn nhất b=3 khi đó 
 mà .
Vậy giá trị lớn nhất của khi a=2;b=3 hoặc a=3;b=2
Thi vào Đại HọcQuốc Gia Hà nội-Đại Học KHoa học Tự nhiên
Vòng 2(Ngày 13háng 6 năm 2008
Câu 1 
Giải hệ phương trình 
 (1)
2)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 với 
Giải
ta có x=0,y=0 không là nghiệm của hệ
 đặt x=ty ( t)
Với t=1 hay x=y thay vào (1) ta có 
Với hay y=2x thay vào (1) ta có
Với hay y=4x thay vào (1) 
ta có
Vậy nghiệm của hệ là : 
2)áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 2 số không âm 2(1-x) và 1 ta có 
Nên .Giá trị lớn nhất của 
khi 2(1-x)=1( thoả mãn điều kiện)
Câu 2
1)Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x2 +y2 3xy +3x+2y+2=0 (1)
2) Tìm các số nguyên dương a,b,c sao cho 
cũng là số nguyên
Giải
(1) 2x2+3x(y+1)+y2+2y+2=0 (2)
 coi PT(2) là phương trình bậc 2 ẩn x tham số y
đê PT(2) có nghiệm nguyên điều kiện cần là chính phương 
Ta có 
 chính phương; đặt =k2 
Ta có y2+2y+1-8=k2 (y+1)2-k2=8(y-k+1)(y+k+1)=8
Mặt khác (y-k+1); (y+k+1) cùng tính chẵn lẻ xét 8=2.4=(-2).(-4) ta có 
Phương trình có 2 nghiệm (x;y)=(-2;2);(2;-4)
b)Nếu P= 0 thì tồn tại 2 số bằng 1 số còn lại 
Nếu 
Ta có 
Giả sử 1<c
Vì c nguyên dương 1<c<3
Nên c=2 ta có 
Nếu b=2 Loại nên b=3
Với b=3 ta có 
Thay a= 5 thoả mãn 
Vậy (a,b,c)=(1;1;N);(2;3;5) và các hoán vị
Câu3 Trang sau
Câu3
1)Chứng minh phân giác góc KBQ và góc KCQ đi qua cùng một điểm trên PQ
xét 
cóPBK đồng dạng với PQB nên
 tương tự PCK đồng dạng với PQC nên 
Từ (1)&(2) & PC=PB nên 
mặt khác do BI là phân giác góc KBQ nên 
 từ (3) và (4) suy ra chứng tỏ IC là phân giác góc KCQ(đpcm)
Chứng minh BC //AQ :Ta có P,M,O thẳng hàng và PO BC
 gọi PO cắt AQ tại N
 Ta có PCO vuông tại có CM là đường cao nên 
 PC2=PM.PO (5) .Mặt khác PCK đồng dạng với PQC nên PC2=PK.PQ(6)
Từ (5) & (6) suy ra PM.PO=PK.PQ nên PMK đồng dạng với PQO ( c.g.c)
PKM=POQ MKQ=NOQ mà AOQ=2MKQ nên
AOQ=2NOQ , AOQ cân có ON là phân giác nên ON là đường cao 
Suy ra ONAQ hay PO AQ 
Ta có (đpcm)
 Câu 4 Cho phương trình a0xn+a1xn-1+a2xn-2+ ............an-1x+an=0 (1)
Trong đó các hệ số a1,a2,a3,.........,an-1,an chỉ nhận các giá trị 0;hoặc 1;hoặc-1
 Và a0 0.Chứng minh rằng nếu x0 là nghiệm của (1) thì 
Giải
Vì x0 là nghiệm của (1) nên :
a0x0n=-( a1x0 n-1 +a2x0 n-2+ ............an-1x0 +an)
Vậy vô lý 
vậy (đpcm)
NMS Lõm Thao-Phỳ Thọ