Đề thi sơ tuyển học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI SƠ TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 
 TX HOÀNG MAI Năm học: 2014 – 2015
ĐỀ CHÍNH THỨC
 Môn: Toán
	 Thời gian làm bài: 120 phút
 -----------------------
Câu 1: (4,5 điểm)
a) Tìm các số nguyên x sao cho là số chính phương.
Cho ba số a, b, c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: 
Tính giá trị của biểu thức: 
Câu 2: (4,5 điểm)
Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: 
Giải phương trình: 
Câu 3: (4,5 điểm)
Cho a, b là các số không âm. Chứng minh: 
Cho x, y, z là các số dương và . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
Câu 4: (4.5 điểm)
Cho ΔABC đều, đường cao AH; M là một điểm thuộc cạnh BC ( M khác B và C). Kẻ
ME vuông góc với AB; MF vuông góc với AC. Gọi I là trung điểm của AM.
Tứ giác HEIF là hình gì ? vì sao ?
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh EF, HI, MG đồng qui.
Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho độ dài EF đạt giá trị bé nhất. Tính giá trị bé nhất 
đó khi cho cạnh của tam giác đều bằng a.
Câu 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A bằng 600, phân giác AD, cạnh AB=2cm, AC=4cm. Tính 
độ dài đường phân giác AD.
--- Hết ---
Họ tên thí sinh .. SBD 
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: (4,5 điểm)
a) Đặt . 
Biến đổi thành 
Giải ra ta được x=5; x=-6
b) Từ suy ra 
Ta có , tương tự 
Câu 2: (4,5 điểm)
a) Biến đổi 
. Giải ra ta được x=1, y=2, z=1
b) ĐKXĐ: 
 Ta có 
Câu 3: (4,5 điểm)
a) Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm . Ta có . Dấu “=” xảy ra khi a=b.
b) Áp dụng BĐT 
Thật vậy 
(đúng)
Ta có Cộng vế theo vế ta có
Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1.
Câu 4: (4.5 điểm)
a) Dễ dàng CM được HIE đều 
 (). 
Tương tự,HIF đều. Vậy HEIF là hình thoi.
b) Gọi O là giao điểm của HI và EF. Cần c/m: M, O, G
 thẳng hàng. Gọi N là trung điểm của AH. c/m MO và MG cùng song song với IN.
c) Đặt AM=x, , , Ta tính được EO=OI.
EF bé nhất AM bé nhất. Mà AM bé nhất khi AM=AH=
Vậy khi thì EF bé nhất và 
Câu 5: (2,0 điểm)
Kẻ 
Dễ dàng tính được BH=1,CK=2 suy ra AH=, AK=2. 
Do đó HK= hay DH+DK= (1)
Mặt khác , suy ra (2)
( Vì , tính chất phân giác)
Từ (1) và (2) suy ra DH=. Vậy AD=+ (cm)