Đề thi olympic toán sinh viên quốc tế năm 2013

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN QUỐC TẾ NĂM 2013
Ngày thứ nhất
Bài 1. Cho A và B là các ma trận đối xứng thực có tất cả các giá trị riêng đều lớn hơn 1. Gọi là một giá trị riêng của ma trận AB. Chứng minh rằng .
Bài 2. Cho là hàm khả vi cấp hai. Giả sử f(0)=0. Chứng minh rằng tồn tại sao cho
Bài 3. Có 2n sinh viên trong một trường học . Mỗi tuần $n$ sinh viên đi du lịch. Sau một số chuyến du lịch, điều kiện sau được thỏa mãn: mỗi hai sinh viên được đi cùng nhau ít nhất một chuyến. Số chuyến du lịch tối thiểu để điều này xảy ra là bao nhiêu?
Bài 4. Cho và là các số thực không âm. Ta định nghĩa và . Chứng minh rằng
Bài 5. Tồn tại hay không dãy các số phức sao cho với mọi số nguyên dương p, ta có hội tụ nếu và chỉ nếu p không nguyên tố?
Ngày thứ hai
Bài 1. Cho z là số phức thỏa mãn . Chứng minh rằng
.
Bài 2. Cho p và q là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng
(Trong đó là phần nguyên của x.)
Bài 3. Giải sử là các vector đơn vị trong. Chứng minh rằng tồn tại vector đơn vị u sao cho
với .
(Ở đây kí hiệu tích vô hướng thông thường trên ).
Bài 4. Tồn tại hay không tập vô hạn M gồm các số nguyên dương sao cho với mọi , và mà a+b là một số bình phương tự do.
(Một số nguyên dương được gọi là bình phương tự do nếu không có số chính phương lớn hơn 1 là ước của nó. Ví dụ, 10 là bình phương tự do nhưng 18 thì không vì nó có ước là 9 = 32.)
Bài 5. Xét một vòng cổ tròn gồm 2013 hạt. Mỗi hạt được sơn màu trắng hoặc màu xanh. Một cách sơn vòng cổ được gọi là tốt nếu giữa bất kì 21 hạt liên tiếp nào cũng có ít nhất một hạt màu xanh. Chứng minh rằng số cách sơn tốt của vòng cổ này là số lẻ.
(Hai cách sơn khác nhau trên một số hạt, nhưng có thể đạt được bằng cách quay hay lật chuỗi hạt, thì được tính là các cách sơn khác nhau.)