Đề thi olympic toán sinh viên học sinh năm 2016 môn thi: Giải tích thời gian làm bài: 180 phút

HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN HỌC SINH NĂM 2016
Môn thi: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút
Bảng A
Bài A.1. Cho (un)∞n=1 là dãy số được xác đinh bởi các điều kiện
u1 = a, un+1 = un
2 − un + 1 ∀n ≥ 1.
1. Tìm tất cả các giá trị thực của a để dãy số (un)∞n=1 hội tụ.
2. Tìm giới hạn của dãy số đó khi nó hội tụ.
Bài A.2. Phần nguyên của số thực x được định nghĩa là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, và được
kí hiệu là [x]. Hiệu x− [x] được gọi là phần lẻ của x, và được kí hiệu là {x}.
Giả sử a, b là các số thực dương và n là số tự nhiên. Chứng minh rằng
lim
n→∞ (a{nb}+ b{na}) = 0
khi và chỉ khi a và b là các số nguyên.
Bài A.3. Cho a ≥ 1 là một số thực và f : R→ R là một hàm số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
• (f(ax))2 ≤ a3x2f(x) với mọi số thực x;
• f bị chặn trên trong một lân cận nào đó của 0.
Chứng minh rằng |f(x)| ≤ x
2
a
với mọi số thực x.
Bài A.4. Cho f : R→ R là một hàm số khả vi vô hạn lần và thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
f(0)f ′(0) ≥ 0, lim
x→+∞
f(x) = 0.
1. Chứng minh rằng tồn tại một dãy số (xn)
∞
n=1 tăng ngặt và không âm sao cho
f (n)(xn) = 0
với mọi số nguyên dương n (trong đó, f (n) kí hiệu đạo hàm cấp n của f).
2. Tồn tại hay không một hàm số f thỏa mãn mọi yêu cầu của đề bài và không đồng nhất bằng 0?
Bài A.5. Với mỗi số thực 0 < α 6= 1, gọi fα là hàm số được xác định trên khoảng (1,∞) bởi công
thức
fα(x) =
∫ xα
x
dt
ln t
(∀x > 1).
1. Chứng minh rằng fα là một phép đồng phôi, tức là một song ánh liên tục, từ khoảng (1,∞) lên
một khoảng Iα ⊂ R nào đó sao cho ánh xạ ngược f−1α : Iα → (1,∞) cũng liên tục.
2. Tìm Iα.
HẾT
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.