Đề thi olympic toán sinh viên học sinh năm 2016 chủ đề: Đại số thời gian làm bài: 180 phút

HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN HỌC SINH NĂM 2016
CHỦ ĐỀ: ĐẠI SỐ
Thời gian làm bài: 180 phút
Bảng PT
Mục tiêu của bài thi này là tìm hiểu một số trường hợp riêng của định lý Markov: nếu P (x) là
một đa thức với hệ số thực và có bậc không vượt quá n thì
max
|x|≤1
|P ′(x)| ≤ n2max
|x|≤1
|P (x)|.
Chứng minh của định lý Markov vượt quá chương trình toán THPT. Ta sẽ tìm cách chứng minh
những trường hợp riêng khi n ≤ 3 của định lý và khảo sát một số bài toán xung quanh các trường
hợp đó.
Trong các bài toán dưới đây, biến số x chỉ nhận giá trị thực.
A. Bất đẳng thức Markov cho đa thức bậc nhất
Bài PT.1. Giả sử a, b là hai số thực sao cho |ax+ b| ≤ 1 khi |x| ≤ 1. Chứng minh rằng:
(i) |a| ≤ 1.
(ii) |bx+ a| ≤ 1 khi |x| ≤ 1.
B. Bất đẳng thức Markov cho các đa thức bậc hai và bậc ba
Bài PT.2. Giả sử a, b, c là ba số thực sao cho các giá trị của đa thức ax2 + bx + c tại 1, 0,−1
đều thuộc đoạn [−1, 1].
(i) Chứng minh rằng |2ax+ b| ≤ 4 khi |x| ≤ 1.
(ii) Chứng minh rằng |cx2 + bx+ a| ≤ 2 khi |x| ≤ 1.
Bài PT.3. Giả sử a, b, c, d là bốn số thực sao cho các giá trị α, β, γ, δ của đa thức ax3 + bx2 +
cx+ d tương ứng tại −1,−1
2
, 1
2
, 1 đều thuộc đoạn [−1, 1].
(i) Chứng minh rằng với mọi số thựcA,B, ta có đẳng thức |A+B|+|A−B| = 2max{|A|, |B|}.
(ii) Bằng cách biểu diễn 3ax2 + 2bx + c theo α, β, γ, δ và x, hãy chứng minh rằng |3ax2 +
2bx+ c| ≤ 9 khi |x| ≤ 1.
(iii) Chứng minh rằng |dx3 + cx2 + bx+ a| ≤ 4 khi |x| ≤ 1.
C. Hai bất đẳng thức khác cho các tam thức
Bài PT.4. Cho a, b, c là ba số thực và n là một số nguyên dương. Giả sử đa thức f(x) = ax2n +
bx+ c có các giá trị tại 1, 0,−1 đều thuộc đoạn [−1, 1]. Chứng minh rằng:
(i) |f(x)| ≤ 2n− 1
2n−1√
4nn2n
+ 1 khi |x| ≤ 1.
(ii) Với mỗi 1 ≤M <∞, ta có |f(x)| ≤ 2M2n − 1 khi 1 ≤ |x| ≤M .
Hết
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2