Đề thi olympic toán lớp 8 năm học: 2013 - 2014 thời gian: 120 phút

Trường thcs thanh thùy
Đề thi olympic toán lớp 8
Năm học: 2013 - 2014
Thời gian: 120 phút
Câu 1: (6 điểm): Giải các phương trình sau: 
 a. 
 b. 
 c. x2 (x+4,5) = 13,5
Câu 2: (5điểm)
a. Tìm phần dư khi chia đa thức f(x) cho đa thức x2 - x
Biết rằng khi chia f(x) cho x; cho x-1 thì các số dư lần lượt là 1 và 2.
 b. Xác định a, b để đa thức f(x) = 2x3 +ax + b chi cho x+ 1 dư -6 chia cho x-2 dư 21.
Câu 3: (2 điểm). Cho a, b, c>0 và a+ b + c = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 
Câu 4 (7 điểm): 
1.Cho hình thang ABCD (AB//CD) gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J chứng minh rằng:
a. 	b. 
2. Cho tam giác ABC, vẽ hình bình hành AMON sao cho MAB, O BC và NAC. Biết SMOB = a2; SNOC =b2; Tính diện tích hình bình hành AMON.
Duyệt của tổ CM
Duyệt BGH
Trường thcs thanh thùy
Hướng dẫn chấm olympic toán 8
Năm học: 2013 - 2014
Thời gian: 120 phút
Câu
Nội dung
Điểm
1 (6 điểm)
a. ĐKXĐ: x
- Quy đồng khử mẫu: 7 (x-1) + 8( x+1) = 37-9x
- Giải ra: x = 1,5
- Kết luận: x=1,5 là nghiệm của phương trình
0,5
0,75
0,5
0.25
b. 
	(Thỏa mãn đk của ẩn)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
c. x3 + 4,5x2 = 13,5
2x3 +9x2 – 27 = 0
.... (x+3)2(2x-3) = 0
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = 
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
2 (5đ)
a. Theo định lý Be zout ta có f(0)=1; f(1) = 2
Vì x2 – x = x(x-1) có bậc là 2 nên dư trong phép chia f(x) cho x2 – x có bậc không quá 1
Giả sử dư là r(x) = ax + b ta có 
f(x)= x (x-1)q(x)+ ax + b (1)
Thay x =0 vào (1) ta được f(0) = b =1
Thay x = 1 vào (1) ta được f(1) = a+b = 2
=> a=b =1 
Vậy dư cần tìm là x+1
0,5
0,5
0,5
0,75
0,25
Theo định lý Bezout
f(x) chia cho x+1 dư – 6 ú f(-1) = -6
 .................
 -a + b = - 4
f(x) chia cho x – 2 dư 21 ú f(2) = 21
 ..............
 2a+ b = 5
=> a= 3 ; b = -1
Vậy f(x) = 2x3 + 3x - 1
0,75
0,75
0,75
0,25
3 (2đ)
 a+b+c=3 => 
B = 
=......= 
B (Dấu ’=” đã xảy ra khi và chỉ khi
Khi a =b = c= 1)
=> Min B = 3 a =b = c = 1
0,5
0,25
1
0,25
4(7đ)
a. (g-g)
 (1)
 (g – g)
 (2)
Từ (1) và (2) => 
=> (3)
1đ
1đ
0,5
0,5
b. Chứng minh tương tự câu a ta có:
 (4)
Từ (3) và (4) => 
Chứng minh được: OI = OJ
=> 
2. Đặt SABC = c2
 (1)
 (2)
Từ (1) và (2) => 
=> (a+b)2 = c2 hay SABC = (a+b)2
Do đó diện tích hình bình hành AMON là 
(a+b)2 – (a2 + b2) = 2ab
Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa:
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
Duyệt của tổ CM
Duyệt BGH