Đề thi olympic sinh viên cấp trường môn: Toán học olympic toán sinh viên 2013

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN
ĐỀ THI OLYMPIC SINH VIÊN CẤP TRƯỜNG
MÔN: TOÁN HỌC
Olympic Toán sinh viên 2013
Câu 1: Cho dãy số xác định như sau ; 
Tìm 
Câu 2: Cho f : [0,1] [0,1] là hàm số liên tục sao cho f(0)=0; f(1)=1
Đặt 
Giả sử rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho 
Chứng minh rằng 
Câu 3: Cho là hàm khả vi. có đạo hàm cấp 2 không âm.
Chứng minh rằng 
Câu 4: Tìm hàm số thỏa mãn 
Câu 5:
a) Tính tích phân 
b) Giả sử là hàm liên tục trên [a,b] và thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng 
Câu 6: cho là hàm liên tục. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n tồn tại số dương và sao cho