Đề thi olympic môn Toán 6 năm học: 2014 – 2015 trường THCS Bích Hòa

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI
 TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
ĐỀ THI OLYMPIC
MÔN TOÁN 6
Năm học: 2014 – 2015
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể giao đề)
Câu 1 (6 điểm)
a) Tính tổng: 
b) Chứng minh rằng: chia hết cho 72.
c) Khi chia một số tự nhiên a cho 4 ta được số dư là 3. Còn khi chia a cho 9 ta được số dư là 5. Hãy tìm số dư trong phép chia a cho 36.
Câu 2 (4 điểm) 
a) Cho 
Tìm chữ số tận cùng của S. Từ đó suy ra S không phải là số chính phương.
b) Cho . Chứng minh rằng: 1 < A < 2
Câu 3 (2 điểm)
Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Hỏi 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số.
Câu 4 (6 điểm)
Hai tia Ox và Oy là hai tia đối nhau. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ các tia Ot, Oz sao cho . Trên nửa mặt phẳng bờ xy không chứa tia Ot, vẽ tia On sao cho .
a) Trong ba tia Ox, Ot, Oz tia nào nằm giữa hai tia còn lại? vì sao?
b) Chứng tỏ rằng: Hai tia Oz và On đối nhau.
c) Tia Ot có là phân giác của góc nOz không? Vì sao?
d) Vẽ thêm 10 tia phân biệt chung gốc với các tia Ox, Oy, Oz, Ot, On. Hỏi có bao nhiêu góc tạo thành từ tất cả các tia trên?
Câu 5 (2 điểm) Tìm số tự nhiên a để phân số có giá trị lớn nhất.
--------------------------------Hết-------------------------------
PHÒNG GD & ĐT THANH OAI
 TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA
HƯỚNG DẪN CHẤM và ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC
TOÁN 6
Năm học 2014 – 2015.
Câu
Tóm tắt nội dung hướng dẫn
Điểm
Câu 1
(6 điểm)
Câu a (2 điểm)
Xét tử: 27.4500+135.550.2
 = 270.450+270.550
 = 270.(450+550) = 270000
Xét mẫu: 2+4+6++18 = 
Suy ra: S = 270000:90=3000
Câu b (2 điểm)
Vì có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng đó chia hết cho 9.
Lại có có ba chữ số tận cùng là 008 chia hết cho 8 nên tổng đó chia hết cho 8.
Mà (8,9) = 1.
Nên chia hết cho 72.
Câu c (2 điểm)
Đặt a = 4q+3=9p+5 (p, q là thương trong hai phép chia)
=> a + 13 = 4(q+4)=9(p+2)
=> a+13 là bội của 4 và 9
Mà (4;9) = 1 => a+13BC(36)
=> a + 13 = 36k (k)
=> a = 36k – 13 =36(k-1) + 23
Vậy a chia 36 dư 23.
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 2
(4 điểm)
Câu a (2 điểm)
Ta có: 
=> có tận cùng là 6 => S có tận cùng là 3.
Mà không có số chính phương nào có tận cùng là 3.
 => S không phải là số chính phương.
Câu b (2 điểm)
Từ (1) và (2)=> 1 < S < 2
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
1 điểm
1 điểm
Câu 3
(2 điểm)
Do p là số nguyên tố >3 => 
Do 2p+1 là số nguyên tố >3 => 
Mặt khác, trong ba số tự nhiên liên tiếp 4p; 4p + 1 và 4p + 2 luôn có một số chia hết cho 3.
Do đó: và => 4p + 1 là hợp số.
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 4 
(6 điểm)
 t
 z
 y 
	 x
 n
Tính được: 
a) Vì hai tia Ox, Oy đối nhau => 
Hai tia Oz và Ot cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox và => Tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Ot.
b) Vì Oz và On thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là Ox
=> Tia Ox nằm giữa hai tia On và Oz 
=> 
=> Hai tia Oz và On đối nhau.
c) Vì Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot => 
Vì Oz và On là hai tia đối nhau => Ot nằm giữa hai tia On và Oz.
Mà => Ot là tia phân giác góc zOn
d) Từ hai tia chung gốc ta vẽ được một góc.
Vẽ thêm 10 tia phân biệt gốc O không trùng với các tia Ox, Oy, Oz, Ot, On. Tất cả trong hình vẽ có 15 tia phân biệt.
Cứ 1 trong 15 tia đó tạo với 14 tia còn lại thành 14 góc.
Có 15 tia nên tạo thành 15.14 góc.
Nhưng mỗi góc tính hai lần => Số góc được tạo thành từ 15 tia phân biệt chung gốc là: góc.
0,5điểm
0,25điểm
0,5điểm
0,75điểm
0,5điểm
0,75điểm
0,5điểm
0,75điểm
0,75điểm
0,75điểm
Câu 5 
(2 điểm)
Đặt 
Nếu A đạt GTLN thì 2A cũng đạt GTLN.
ó2a-1 là số nguyên dương nhỏ nhất.
Vì nên 2a-1 nhỏ nhất ó a = 1
Với a = 1 thì có GTLN và GTLN = 
0,25điểm
0,5điểm
0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm
0,5điểm
Người duyệt đề
Người ra đề