Đề thi olympic lớp 7 năm học 2014 – 2015 môn: Toán - Trường thcs Cao Dương

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS CAO DƯƠNG
ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7
Năm học 2014 – 2015
Môn: Toán 
 Thời gian làm bài:120 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (6 điểm)
a, Rút gọn
	A = 3100 - 399 + 398 - 397 + . . . . . . . + 32 - 3 + 1
b, Chứng minh
	M = 312.22 + 522.32 + 732.42 + . . . . . + 1992.102 < 1
c, Tìm x biết
	x-1 + x-4 = 3x
Câu 2: (4 điểm)
a, Cho 	g(x) = x4 – 2 x2 + 3 x – 7 – x3
	h(x) = 3x2 – x4 – 10 x + x3 + 19
	+) Tìm f(x) biết f(x) – g(x) = h(x)
	+) Tìm nghiệm của f(x)
b, Cho tỉ lệ thức ab = cd , chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức sau :
( giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa)
	a+bc+d3 = a3+ b3c3+ d3
Câu 3: ( 4 điểm)
a, Tìm số nguyên x, y sao cho: x – 2xy + y = 0
b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B= x2+15x2+3 
Câu 4: ( 5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AH. Lấy các điểm E thuộc cạnh AB, F thuộc cạnh AC sao cho BE = AF.
a, Chứng minh rằng: tam giác HEF vuông cân
b, Lấy I thuộc AH sao cho HI = 13 AH. Gọi M là giao điểm của BI với AC, N là giao điểm của CI với AB. So sánh độ dài đoạn thẳng IM và IN.
c,Tìm vị trí của điểm E và F trên AB và AC để độ dài đoạn thẳng EF ngắn nhất.
Câu 5: (1 điểm) Tìm x, y ∈ N biết 
	8(x-2015)2 + y2 = 25
------------------- Hết-------------------
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
HD CHẤM THI OLYMPIC LỚP 7
MÔN THI: TOÁN 7
Câu 1
(6 điểm) 
Câu a 
( 2đ)
Câu b
(2đ)
Câu c 
(2đ)
Câu 2
Câu a
(2 đ)
Câu b
(2đ)
Câu 3 
Câu a
(2đ)
Câu b
(2đ)
Câu4
(5đ)
Câu 5
(1đ)
Nội dung
 A = 3100 - 399 + 398 - 397 + . . . . . . . + 32 - 3 + 1
→3A = 3101 - 3100 + 399 - 398 + . . . . . . . + 33 - 32 + 3
→ 4A = 3101 + 1
→ A = 3101 + 14
M = 312.22 + 522.32 + 732.42 + . . . . . + 1992.102 
 = 22-1212.22 + 32-2222.32 + 42-3232.42 + . . . . . + 102-9292.102 
 = 112 - 122 + 122 - 132 + 132 - 142 + . . . . + 192 - 1102
 = 112 - 1102 
 = 1 - 1102 < 1
x-1 + x-4 = 3x (1)
Ta có 3x ≥ 0 suy ra x ≥ 0
Xét 0 ≤ x < 1 suy ra (1) ↔ 1 - x + 4 - x = 3x
 ↔ x = 53 (Loại)
Xét 1 ≤ x < 4 suy ra (1) ↔ x - 1 + 4 - x = 3x
 ↔ x = 1 (Thỏa mãn)
Xét 4 ≤ x suy ra (1) ↔x - 1 + x – 4 = 3x
 ↔ x = - 5 (Loại)
Vậy x = 1
Câu a,
Tính được f(x) = x2 - 7x + 12
Tìm được nghiệm x = 3 và x = 4
Câu b,
Ta có ab = cd suy ra ac = bd = a+bc+d 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
ac = bd = a+bc+d → a3c3 = b3d3 = (a+b)3(c+d)3 = a3+b3c3+d3 
Vậy a+bc+d3 = a3+ b3c3+ d3
Câu a,
 x – 2xy + y = 0
→ 2x – 1 – 4xy + 2y = –1
→ ( 2x – 1) ( 1 – 2y) = –1
Vì x, y ∈ Z nên ( 2x – 1) và ( 1 – 2y) ∈ Z 
TH 1: 2x – 1=11 – 2y= -1 → x=1y=1 ( Thỏa mãn )
TH 2: 2x-1= -1 1-2y=1 → x=0y=0 ( Thỏa mãn )
Vậy (x; y) = ( 1;1), (0;0)
Câu b,
B= x2+15x2+3 = 1+ 12x2+3
Ta có x2 ≥ 0 → x2 + 3 ≥ 3 ( dấu= xảy ra khi x = 0)
→12x2+3 ≤ 4 → 1+ 12x2+3 ≤ 5
Vậy MaxB = 5 tại x = 0
Câu 4,
a, Vẽ hình làm đúng câu a
Chứng minh được ∆ BHE = ∆ AHF ( c.g.c)
→ EH = HF ( 2 cạnh tương ứng ) 
và EHB = FHA ( 2 góc tương ứng)
Ta có: EHA + EHB = 90° → EHA + FHA = 90° 
hay EHF= 90°
→∆ EHF vuông, cân tại H
b, 
→ I là trọng tâm ∆ABC
→ BM, CN là trung tuyến
→ IM = 12BI ; IN = 12CI
Mà I ∈ đường trung trực của đoạn thẳng BC → BI = CI
→ IM = IN
c, 
Áp dụng định lí py-ta-go vào tam giác vuông EHF ta có:
EF2 = HE2 + HF2 = 2HE2
EF min ↔ HE min
Ta có ∆AHB vuông, cân tại H, N là trung điểm của AB
→ HN ⊥ AB
∆NHB cân tại N → HN = NB = 12AB không đổi
Ta có HE ≥ HN → HE min ↔ E ≡ N hay E là trung điểm của AB
Vậy độ dài đoạn thẳng EF nhỏ nhất khi E,F là trung điểm của AB,AC.
8(x-2015)2 + y2 = 25
Vì 8(x-2015)2 là một số chẵn nên y2 là một số lẻ
Mà y2 ≤ 25 suy ra y = {1;3;5}
Khi y = 1 thì 8(x-2015)2 + 1 = 25
 →(x-2015)2 = 3 vô nghiệm
Khi y = 3 thì 8(x-2015)2 + 9 = 25
 →(x-2015)2 = 2 vô nghiệm
Khi y = 5 thì 8(x-2015)2 + 25 = 25
 →(x-2015)2 = 0 
 → x = 2015 (Thỏa mãn)
Vậy (x; y) = ( 2015;5)
Điểm
0.5đ
1.0đ
0.5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1,0đ
1,0đ
0,5đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
2đ
2đ
1đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ