Đề thi olympic lớp 7 huyện Thanh Oai năm học 2003 – 2004 môn thi: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7
 THANH OAI Năm học 2003 – 2004
 Môn thi: Toán
 ĐỀ CHÍNH THỨC
	 Thời gian làm bài: 120 phút
 (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: ( 6 điểm) 
Tìm x biết: 
Tìm các số nguyên a, b sao cho 
Câu 2: ( 4 điểm) Cho . Chứng minh
Câu 3: (5 điểm) 
Tìm nghiệm của đa thức:
Cho đa thức . Chứng minh rằng ; ; ; d là số nguyên thì là số nguyên với mọi số nguyên x.
Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC có AD là trung tuyến và AD bằng nửa 
 cạnh BC.
Chứng minh vuông ở A.
 Lấy E là một điểm trên cạnh BC sao cho . 
Chứng minh 
Câu 5: (1 điểm) 
 Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn: 
 ..Hết
 ( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
 Câu
 NÔI DUNG
Điểm
 Câu 1
(6 điểm)
 khi khác dấu 
Mà 
 Nên 
 Vậy: 
Vậy: 
Vậy: hoặc 
 Ư 
Vì: 
 Vậy: 
1, 0 đ
1, 0 đ
1, 0 đ
1, 0 đ
1, 0 đ
1, 0 đ
0, 5 đ
0, 5 đ
 Câu 2
(4 điểm)
Từ: 
 (đpcm) 
Từ: 
Ta có: (1)
 (2) 
 Từ : (1) và (2) 
1, 0 đ
1, 0 đ
1, 0 đ
1, 0 đ
 Câu 3
(5 điểm)
Tìm nghiệm của đa thức 
Ta có: 
 Vậy hoặc 
Đặt 
Ta có: 
Nếu 
Nếu 
Vậy: 
 Với mọi số nguyên x ta có: 
 (tích của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6)
 Vì : (1)
 Với mọi số nguyên x ta có: 
 (tích của hai số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2)
 Vì : (2)
 Vì : (3)
 Vì : (4)
Từ : (1) ; (2) ; (3) và (4) là số nguyên với mọi số nguyên x.
0, 75 đ
0, 75 đ
0, 75 đ
0, 75 đ
1,0 đ
1, 0 đ
 Câu 4
(4 điểm)
 A
 1 2
 B D C 
 cân tại D 
 cân tại M 
Ta có: (tổng ba góc của một tam giác)
 vuông tại A (đpcm)
 A
 B E D C
 I
 F 
 Trên tia AB lấy điểm F sao cho B là trung điểm của AF.
 là trung tuyến của 
 Vì: là trọng tâm của 
 là trung tuyến của 
 Kéo dài AE cắt CF tại I là trung điểm của FC 
 Vuông tại A trung tuyến hay 
 Ta có: hay 
 Vì E là trọng tâm của và 
 Áp dụng định lí Pi -Ta - Go vào tam giác vuông ta có:
 (đpcm)
0, 25đ
0, 5 đ
0, 5 đ
0, 5 đ
0, 25 đ
1,0 đ
1,0 đ
Câu 5
(1 điểm)
 Ta có: 
 Mà : 
 Thay vào (1) ta được: 
 Vậy: 
0, 5 đ
0, 5 đ