Đề thi olympic khối 7 năm học 2015 – 2016 môn thi: Toán - Trường Thcs Cao Viên

PHÒNG GD - ĐT THANH OAI	
TRƯỜNG THCS CAO VIÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
 ĐỀ THI OLYMPIC KHỐI 7 
 NĂM HỌC 2015 – 2016
 Môn thi: TOÁN	 Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (6,0 điểm)
a) Tính A = 
b) Chứng minh rằng: 
c) Tìm x biết : 
Câu 2: (4 điểm)
a) Cho đa thức f(x) = 
Với f(0) và f(1) là các số lẻ, chứng minh rằng f(x) không có nghiệm là số nguyên.
b) Tìm số dương có 3 chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1,2,3.
Câu 3: ( 4 điểm)
a) Cho biểu thức: A = 
Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị là một số nguyên dương ?
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Câu 4: (5 điểm)
1) Cho tam giác ABC có AH vuông góc với BC và . Tia phân giác của cắt AC tại E.
 a) Tia phân giác cắt BE tại I. Chứng minh rằng tam giác AIE vuông cân.
 b) Chứng minh rằng HE là tia phân giác của góc AHC. 
2) Cho 9 đường thẳng trong đó không có hai đường thẳng nào song song. Chứng minh rằng ít nhất cũng có hai đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 200.
Câu 5: (1 điểm) 
Tìm số nguyên x sao cho: ( x2 –1)( x2 – 4)( x2 – 7)(x2 – 10) < 0.
-------------------------------------------------------
HẾT
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
TRƯỜNG THCS CAO VIÊN
ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7
NĂM HỌC 2015 - 2016
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1 
(6 đ)
Mỗi câu làm đúng được 2 điểm.
a) A = 
+ Đưa tổng A về dạng tổng B:
Ta có:
 B = 1.2.3 + 2.3.4 + + (n-1).n.(n+1)
 = (2-1).2.(2+1) + (3-1).3.(3+1) + + (n-1).n.(n+1)
 = [2.2.(2+1) – 1.2.(2+1)] + [3.3.(3+1) – 1.3.(3+1)]+ + [n.n.(n+1) – 1.n(n+1)]
 = (23 – 2) + (33 – 3) ++ (n3 – n)
 = (23 + 33 + + n3) – (2 + 3+  + n)
 = (13 + 23 + 33 + + n3) – (1+ 2 + 3+  + n)
 = A – 
Suy ra: A = B + (*)
+ Tính tổng B:
 B = 1.2.3 + 2.3.4 + + (n-1).n.(n+1)
4B = 1.2.3.4+ 2.3.4 .4+ + (n-1).n.(n+1).4
= 1.2.3.(4-0) + 2.3.4.(5 - 1) + + (n-1).n.(n+1)[(n+2)- (n-2)]
= 1.2.3.4 – 1.2.3.0+ 2.3.4.5 – 1.2.3.4+ + (n-1).n.(n+ 1).(n+2) - (n-1).n.(n+1)(n-2)
= (n-1).n.(n+1).(n+2) – 1.2.3.0
= (n-1).n.(n+1).(n+2)
Suy ra: B = 
+ Tính A 
Thay vào (*) có:
 A = += 
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0.25
b) ; ; ..; .
Vậy: ( đpcm)
1 điểm
1 điểm
c) Vì VT > 0 nên VP = 101x > 0 suy ra x > 0
Từ đó ta bỏ được dấu giá trị tuyệt đối thu được phương trình sau:
(x+ x++ x) + () = 101.x
100x + (1 + 2 + 3++ 100) = 101.x
 = x x = 50 (TM)
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
Bài 2
( 4 đ)
Mỗi câu làm đúng được 2 điểm.
a) Giả sử f(x) có nghiệm nguyên là n, thì: 
f(n) = = 0
Theo đề bài ta có: f(0) = d là số lẻ; f(1) = a + b + c + d là số lẻ.
+ Nếu n là số chẵn: thì là số chẵn, mà d là số lẻ (cmt) suy ra f(n) = là số lẻ.
Điều này vô lý vì f(n) = 0
+ Nếu n là số lẻ thì ; ; n - 1 là số chẵn.
Xét: f(n) – f(1) = - (a + b + c + d) 
 = a() + b() + c(n -1) là số chẵn.
Mà f(n) – f(1) = 0 – f(1) = -f(1) là số lẻ. Điều này vô lý.
Vậy f(x) không có nghiệm nguyên.
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,75 đ
0,25 đ
b) Gọi a, b, c là các chữ số của số cần tìm
 ( a,b,c N* ; 0 £ a,b,c £ 9).
Vì mỗi chữ số của a, b, c không vượt quá 9 và không đồng thời bằng 0 nên 1 £ a+b+c £ 27. Mặt khác số phải tìm là bội của 18 nên số đó chia hết cho 2 và 9 (vì ƯCLN(2;9) = 1) nên a+b+c =9 hoặc a+b+c = 18 hoặc a+b+c =27.
Theo giả thiết ta có : 
Do đó a + b + c chia hết cho 6 a+b+c = 18
Þ a = 3; b = 6 ; c = 9 (TM)
Vì số phải tìm chia hết cho 2 nên chữ số hàng đơn vị của nó phải là số chẵn. Vậy các số cần tìm là 396 và 936.
0,25 đ
0,5đ
0,5đ
0,25 đ
0,5 đ
Bài 3
(4 đ) 
Mỗi câu làm đúng được 2 điểm.
a) Điều kiện x 0, x 9. Ta có: A = 
A nguyên khi nguyên
vì x nguyên Ư(4) = {-4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4}
Tính được các giá trị nguyên của x là: 1; 4; 16 ; 25 ; 49 (TM)
Lập luận để A nguyên dương thì x = 16; 25; 49 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b) 
A < 0 với mọi giá trị của x nên A đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất. 
Vậy nhỏ nhất bằng khi x=0 	 
Suy ra GTLN của A =khi x=0 
0,5 đ
0,75 đ
0,5 đ
0,25 đ
Bài 4
( 5 đ)
Phần 1
(4 đ)
a) 2,5 đ
b) 1,5 đ
Vẽ hình đúng, ghi GT, KL.
a) Chứng minh vuông cân:
Ta có nên tam giác AHC vuông tại H nên (1). Do AI là phân giác của nên mà nên (2). Từ (1) và (2) suy ra nên AIE vuông tại A. 
Ta có ; ; Do là góc ngoài của tam giác BIA nên: nên tam giác AIE vuông cân
b) Chứng minh HE là tia phân giác .
Kẻ EM AB; EKBC; ENAH. 
Có (cmt) mà AI là phân giác của góc BAH (gt) nên AE là phân giác của (vì và kề bù)EM = EN (3)
Lại có: BE là phân giác của ABH(gt) EM= EK (4)
Từ (3) và (4) EN= EK E nằm trên đường phân giác của góc AHC (tính chất đường phân giác của một góc)
Hay HE là tia phân giác của góc AHC (đpcm).
0,5 đ
1 đ
1 đ
0,5 đ
0,5đ
0,5 đ
Phần 2
(1 đ)
Lấy điểm O tùy ý, qua O vẽ 9 đường thẳng lần lượt song song với 9 đường thẳng đã cho.
9 đường thẳng qua O tạo thành 18 góc không có điểm trong chung, mỗi góc này tương ứng bằng góc giữa hai đường thẳng trong số 9 đường thẳng đã cho. 
Tổng số đo của 18 góc đỉnh O là 3600, do đó ít nhất có 1 góc không nhỏ hơn 3600 : 18 = 200. Từ đó suy ra ít nhất cũng có hai đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 200 (đpcm).
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Câu 5
(1điểm)
Vì tích của 4 số: x2 - 1 ; x2 - 4; x2 - 7; x2 - 10 là số âm nên phải có 1 số âm hoặc 3 số âm.
Ta có: x2 – 10 < x2 - 7 < x2 - 4 < x2 – 1. Xét hai trường hợp:
+ Có 1 số âm: x2 - 10 < x2 - 7 Þ x2 - 10 < 0 < x2 - 7
Þ 7< x2 < 10 Þ x2 =9; do x Î Z Þ x = ± 3. 
+ có 3 số âm, 1 số dương
x2 - 4 < 0 < x2 - 1 Þ 1 < x2 < 4 do xÎ Z nên không tồn tại x.
Vậy x = ± 3 
0,25đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
 Ký duyệt của tổ chuyên môn	 	Ban giám hiệu