Đề thi olympic huyện năm học 2010 – 2011 môn toán lớp 8. Thời gian: 120 phút

phòng giáo dục - đào tạo đức thọ
đề thi olympic huyện năm học 2010 – 2011
Môn toán lớp 8. Thời gian: 120 phút
Bài 1: 	1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
	2) Cho và . Tính S = 
Bài 2: 	1) Giải phương trình: 
	2) Có tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho 
Bài 3: 	Rút gọn biểu thức A = 
Bài 4: 	Cho DABC vuông tại A, có AB < AC. Kẻ phân giác AD. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC. BN cắt CM tại K, AK cắt DM tại I, BN cắt DM tại E, CM cắt DN tại F.
	1) Chứng minh rằng EF // BC
	2) Chứng minh rằng K là trực tâm của DAEF
	3) Tính số đo của 
Bài 5: 	Cho a, b, c, d, e > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c + d + e = 4. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lưu ý: Học sinh không được sử dụng bất kì loại máy tính bỏ túi nào
	----- Hết -----
Lời giải tóm tắt
Bài 1:	(5 điểm)
1) (3 điểm)	 = 	(1 đ)
	= 	(1 đ)
	= 	 	(1 đ)	
2) (2 điểm) 	Ta có ị ị 	(0,5 đ)
và ị ị 	(0,5 đ)
Suy ra 125 = . Do đó S = = 5	(1 đ)
Bài 2: (5 điểm)
1) (3 điểm) Û Û (1,5 đ)
	Vì ; 	(0,5 đ)
Nên phương trình tương đương Û x = 1	(0,5 đ)
	Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1	(0,5 đ)	
2) (2 điểm). Giả sử tồn tại n ẻ N* sao cho . Ta có 26n có tận cùng là 6 và 212011 có tận cùng là 1. Vậy n6 có tận cùng phải là 5, do đó n có tận cùng là 5. 	(0,5 đ)	
Khi đó có dạng 	(0,5 đ)
Û Û , vô lí	(0,5 đ)
Vậy không tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn bài toán	(0,5 đ)
Bài 3: (2 điểm). Nhận xét rằng mỗi số hạng của tổng có dạng 
 với k = 2, 3, , 2011	(1 đ)
Ta có 
	= 
	= 	(1 đ)
Bài 4: (6 điểm). Vẽ hình không chính xác không cho điểm cả bài
1) (2 đ). Chứng minh được tứ giác AMDN
	là hình vuông (0,5 đ)
	 (1đ)
	hay ị EF // DC
	hay EF // BC (0,5 đ)
2) (2 đ). Theo định lí Thales ta có
	 	(0,5 đ)
hay và 	(0,5 đ)
ị DNAF ~ DABN ị ị AF ^ BN. 	(0,5 đ)
Lập luận tương tự có AE ^ CM. Vậy K là trực tâm của DAEF	(0,5 đ)
3) (2 đ). K là trực tâm của DAEF ị AK ^ EF mà EF // BC ị AK ^ BC	(0,5 đ)
Kết hợp với DM ^ AB ị I là trực tâm của DABD. 	
Vậy 	(1 đ)
Bài 5: 	(2 điểm). 
Ta có . Dấu “=” xảy ra khi x = y (0,5 đ)
	áp dụng liên tiếp BĐT ta có
	42 = (a + b + c + d + e)2 ³ 4(a + b + c + d)e	 (1)
	 (a + b + c + d)2 ³ 4(a + b + c)d (2)
	 (a + b + c)2 ³ 4(a + b)c (3)
	 (a + b)2 ³ 4ab (4)
	Do a, b, c, d, e > 0 nên các vế của các BĐT trên đều dương. Nhân từng vế của chúng và rút gọn ta được 16(a + b + c + d)(a + b + c)(a + b) ³ 256abcde
	ị . 	(1 đ)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy GTNN của P bằng 16 đạt được khi a = b = ; c = ; d = 1 và e = 2 	(0,5 đ)
Lưu ý: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa
	-------Hết -----