Đề thi môn Toán Học - Kỳ thi thử THPT Quốc gia năm 2015-2016 - Vũ Văn Bắc

Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 
Câu 1 (1,0 điểm)  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị   C  của hàm số 
2 3
.
1
x
y
x
 


Câu 2 (1,0 điểm)  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  3 24 3 5y x x x     trên đoạn  2;1 .  
Câu 3 (1,0 điểm) 
a) Cho số phức  z  thỏa mãn    1 2 3 4 5 6 0.z i i      Tìm số phức  1 .w z   
b) Giải phương trình    2 22 4log log 6 0.x x    
Câu 4 (1,0 điểm)  Tính tích phân     
1
0
2 .xI x e dx   
Câu 5 (1,0 điểm) Trong khơng gian với hệ toạ độ  ,Oxyz  cho đường thẳng 
3 1 1
:
2 1 2
x y z
d
  
   và điểm 
 1;2; 3 .M   Tìm toạ độ hình chiếu vuơng gĩc của điểm  M  lên đường thẳng  .d  Viết phương trình mặt cầu 
 S  tâm  M  và tiếp xúc với  .d  
Câu 6 (1,0 điểm) 
a) Cho  0
2

   và   sin 3 1 cos .    Tính giá trị của biểu thức     2cos 1 3cos .P     
b) Trong buổi lễ tổng kết và tri ân năm học 2015–2016 tại một trường THPT cĩ 14 lớp 12. Ban chấp 
hành đồn trường chọn mỗi lớp 12 một em học sinh ưu tú để lên tặng hoa cho 14 chi hội trưởng các lớp 12. 
Biết rằng trong 14 chi hội trưởng này cĩ 5 chi hội trưởng cĩ con mình được chọn lên để tặng hoa. Khi tiến 
hành tặng hoa ban tổ chức sắp xếp ngẫu nhiên các em học sinh đã chọn để tặng hoa cho các chi hội trưởng. 
Tính xác suất để cĩ đúng 3 chi hội trưởng được chính con mình tặng hoa. 
Câu 7 (1,0 điểm)  Cho hình chĩp  .S ABCD  cĩ đáy  ABCD  là hình thang cân  (BC  song song với  ).AD  Hình 
chiếuvuơng gĩc  của  S   trên mặt đáy  là  trung điểm  H   của  AD   và  ,   ,   2 .SH a AB BC CD a AD a      
Tính theo  a  thể tích của khối chĩp  .S ABCD  và khoảng cách giữa hai đường thẳng  SB  và  .AD  
Câu 8 (1,0 điểm)  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  ,Oxy  cho tam giác  ABC  nội tiếp trong đường trịn tâm  .I  
Tiếp tuyến tại  B  và C  của đường trịn tâm  I  cắt nhau tại điểm  .P  Đoạn thẳng  IP  cắt  BC  tại điểm  .H  Gọi 
E  và  F  lần lượt là trung điểm của  PC  và  .BH  Biết  EF  cĩ phương trình  3 3 0,x y    điểm  F  nằm trên 
trục hồnh, điểm   2;2 ,H  điểm  A  nằm trên đường thẳng cĩ phương trình  5 6 0x y    và điểm  A  cĩ tọa 
độ nguyên. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác  ABC  và viết phương trình của đường trịn tâm  .I  
Câu 9 (1,0 điểm) 
a) Giải phương trình 
  
 
  
3 26
8 14 2 2 2
( 1) 2 2 1
x x x x
x x x
x x x
  
    
   
 trên tập số thực. 
b) Mỗi ngày một cơ sở sản xuất 2 loại bánh là B1 và B2. Để sản xuất được 1 chiếc bánh loại B1 cần 
100g bột và 30g nhân; để sản xuất được một chiếc bánh loại B2 cần 150g bột và 50g nhân. Nguyên liệu mà 
cơ sở hiện cĩ là 24000g bột và 7500g nhân. Hỏi với lượng nguyên liệu hiện cĩ như trên, cơ sở nên sản xuất 
bao nhiêu bánh mỗi loại để doanh thu cao nhất. Biết rằng giá của mỗi chiếc bánh loại B1 là 10000 đồng, giá 
của mỗi chiếc bánh loại B2 là 16000 đồng và giả sử số bánh làm ra đều bán hết. 
Câu 10 (1,0 điểm)  Xét x, y, z là các số thực tùy ý thuộc đoạn  1;2 .  
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   
 
 
 
2
2
15
17.
4 16
x y x y
P
z xy yz zx z
 
  
  
-------------------- Hết -------------------- 
SỞ GD & ĐT BÌNH PHƯỚC 
FACEBOOK: vuvanbac.xy.abc 
KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 
Môn thi: TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề 
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 
x
y
1
-4
-1
-2
-3
2O
Câu Nội dung đáp án Điểm 
1 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số 
2 3
.
1
x
y
x
 


 1,0 
 Tập xác định:   \ 1 .D    
Đạo hàm: 
2
1
' 0,   .
( 1)
y y x D
x

    

0,25 
 Hàm số nghịch biến trên các khoảng   ;1  và   1; .  Hàm số khơng cĩ cực trị. 
Giới hạn và tiệm cận:  
lim 2;   lim 2 2
x x
y y y
 
        là tiệm cận ngang. 
1 1
lim ;   lim 1
x x
y y x
  
      là tiệm cận đứng. 
0,25 
 Bảng biến thiên: 
x    1             
'y     –    – 
y 
–2 
    
  
  –2 
Giao điểm với trục hồnh: cho 
3
0 2 3 0 .
2
y x x       
Giao điểm với trục tung: cho  0 3.x y    
0,25 
  Đồ thị hàm số: 
0,25 
2 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 24 3 5y x x x    trên đoạn  2;1 . 1,0 
Hàm số  3 24 3 5y x x x     xác định và liên tục trên đoạn  2;1 .  
Ta cĩ  2' 3 8 3.y x x   
0,25 
Giải được 
     
  2
2;12;12;1 1
.
33 3 1 0' 0 3 8 3 0
xxx
x
x xy x x
      
     
         
  0,25 
SỞ GD & ĐT BÌNH PHƯỚC 
FACEBOOK: vuvanbac.xy.abc 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 
Môn thi: TOÁN 
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 
Tính được     
1 149
2 9;   1 3;   .
3 27
y y y
 
      
 
0,25 
Đ/s : 
[ 2;1] [ 2;1]
149
min ;   max 9
27
y y
 
     0,25 
3a 
Cho số phức z thỏa mãn   1 2 3 4 5 6 0.z i i     Tìm số phức 1 .w z  0,5 
Giả sử     ,   ,z a bi a b    ta cĩ    1 2 3 4 5 6 0z i i      
      2 1 2 3 4 5 6 0 6 8 8 8 6 10 0.a bi i i a b a b i               
0,25 
Giải được 
32
6 8 8 0 32 1 7 125
1 .
8 6 10 0 1 25 25 25 25
25
a
a b
z i w z i
a b
b

    
           
    

Đ/s: 
7 1
25 25
w i    
0,25 
3b 
Giải phương trình    2 22 4log log 6 0.x x   0,5 
ĐK:  0x     (*) 
Khi đĩ phương trình đã cho  22 2log log 6 0.x x     
Đặt  2log ,
x t  ta được  2 6 0.t t    
0,25 
Ta cĩ 
3
22
2
2
2 8
log 33
6 0 1
2 log 2 2
4
x
xt
t t
t x x 
  
               
 thỏa mãn (*) 
Đ/s: 
8
1
4
x
x


 

0,25 
4 
Tính tích phân     
1
0
2 .xI x e dx    1,0 
Ta cĩ 
1 1
0 0
2 .xI xdx xe dx A B    
0,25 
Tính 
1 1
2
00
2 1.A xdx x   0,25 
Tính    
1 1 11 1
0 00 0 0
1 1.x x x x xB xe dx xd e xe e dx e e e e            0,25 
Do đĩ  1 1 2.I A B      
Đ/s:  2I 
0,25 
5 
Trong khơng gian với hệ toạ độ ,Oxyz cho đường thẳng 
3 1 1
:
2 1 2
x y z
d
  
  và điểm 
 1;2; 3 .M  Tìm toạ độ hình chiếu vuơng gĩc của điểm M lên đường thẳng .d Viết phương 
trình mặt cầu  S tâM M và tiếp xúc với .d 
1,0 
Đường thẳng  d  cĩ VTCP   2;1;2 .du 

Gọi  'M  là hình chiếu của điểm  M lên  .d  
0,25 
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 
Vì     ' ' 3 2 ; 1 ;1 2 ' 2 2 ; 3 ;4 2 .M d M t t t MM t t t           

Ta cĩ  'MM d  nên  '. 0dMM u 
 
(2 2 ).2 ( 3 ).1 (4 2 ).2 0 9 9 0 1t t t t t               
 ' 1; 2; 1 .M   
0,25 
Mặt cầu tâm  ,M  tiếp xúc với  d cĩ bán kính  2 2 2' 0 ( 4) 2 2 5.R MM        0,25 
Phương trình mặt cầu cần tìm là:    2 2 2: ( 1) ( 2) ( 3) 20.S x y z      0,25 
6a 
Cho  0
2

   và   sin 3 1 cos .    Tính giá trị của biểu thức     2cos 1 3cos .P    0,5 
Với  0
2

   ta cĩ     
22sin 3 1 cos sin 3 1 cos         
     
22
cos 1
1 cos 3 1 cos 1 cos 1 cos 3 1 cos 0 1
cos
2

    


              

Do điều kiện  0
2

   nên  cos 1   bị loại, ta chỉ nhận 
1
cos .
2
   
0,25 
Với 
1 1 3 1
cos . 1 .
2 4 2 8
P
 
      
 
Đ/s: 
1
8
P    
0,25 
6b 
Trong buổi lễ tổng kết và tri ân năm học 2015-2016 tại một trường THPT cĩ 14 lớp 12. Ban 
chấp hành đồn trường chọn mỗi lớp 12 một em học sinh ưu tú để lên tặng hoa cho 14 chi 
hội trưởng các lớp 12. Biết rằng trong 14 chi hội trưởng này cĩ 5 chi hội trưởng cĩ con mình 
được chọn lên để tặng hoa. Khi tiến hành tặng hoa ban tổ chức sắp xếp ngẫu nhiên các em 
học sinh đã chọn để tặng hoa cho các chi hội trưởng. Tính xác suất để cĩ đúng 3 chi hội 
trưởng được chính con mình tặng hoa. 
0,5 
Nếu sắp xếp ngẫu nhiên 14 em được chọn tặng hoa cho 14 phụ huynh ta thấy: phụ huynh thứ 
nhất cĩ 14 cách, phụ huynh  thứ hai cĩ 13 cách, , cứ như  thế phụ huynh cuối cùng cĩ 1 
cách.  
Do đĩ khơng gian mẫu cĩ số phần tử là  14!   
0,25 
Chọn 3 phụ huynh trong 5 phụ huynh cĩ con được chọn cĩ  35C  cách, mỗi phụ huynh được 
chọn này cĩ đúng 1 cách chọn con mình để tặng hoa.  
Khi đĩ cịn lại 11 phụ huynh và 11 học sinh cần bắt cặp để tặng hoa, trong đĩ vẫn cịn 2 phụ 
huynh cĩ con mình trong danh sách tặng hoa. Xét hai phụ huynh đặc biệt cịn lại này (gọi là 
phụ huynh thứ nhất và phụ huynh thứ hai) ta thấy cĩ 2 khả năng sau: nếu phụ huynh thứ nhất 
được con của phụ huynh thứ hai tặng hoa thì số cách chọn tặng hoa cho phụ huynh thứ nhất 
là 1 và phụ huynh thứ hai là 10; nếu phụ huynh thứ nhất khơng được con phụ huynh thứ hai 
tặng hoa thì số cách chọn tặng cho phụ huynh thứ nhất là 9 và phụ huynh thứ hai cũng là 9, 
do đĩ cĩ 1.10 9.9 91   cách chọn cho hai phụ huynh đặc biệt này.   
Đến đây cịn 9 phụ huynh và 9 học sinh và khơng bị ràng buộc nào cả nên cĩ  
9.8.7.6.5.4.3.2.1 9!  cách tặng. 
Do đĩ nếu gọi A là biến cố thỏa mãn bài tốn ta cĩ  35 .91.9!.A C   
0,25 
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 
Vậy xác suất cĩ đúng ba phụ huynh được con tặng hoa là   
3
5 .91.9! 1 .
14! 264
A CP A

  

7 
Cho hình chĩp .S ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang cân (BC song song với ).AD Hình 
chiếuvuơng gĩc của S trên mặt đáy là trung điểm H của AD và 
,   ,   2 .SH a AB BC CD a AD a     Tính theo a thể tích của khối chĩp .S ABCD và 
khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và .AD 
1,0 
Ta cĩ  BC  và  HD  song song và bằng nhau   tứ giác  BCDH  là hình bình hành 
BH CD a ABH      đều cạnh  ,a  kẻ 
3
.
2
a
BI AH BI    
Diện tích 
    2
3
2
3 32 .
2 2 4
ABCD
a
a aBC AD BI a
S

    
0,25 
Thể tích 
2 3
.
1 1 3 3 3
. .
3 3 4 4
S ABCD ABCD
a a
V SH S a    (đvtt).  0,25 
Ta cĩ           / / / / ; ; ; .AD BC AD SBC d AD SB d AD SBC d H SBC     
Kẻ HJ BC BIHJ  là hình bình hành 
3
.
2
a
HJ BI   
 Kẻ  ,HK SJ  ta cĩ   ,   .BC HJ BC SH BC SHJ BC HK       
Ta cĩ      ,   ; .HK SJ HK BC HK SBC d H SBC HK      
0,25 
Xét tam giác vuơng  HSJ  ta cĩ  
 22 2 2 2 2
1 1 1 1 1 7 3 21 21
; .
3 3 7 77
4
a a a
HK d AD SB
aHK HS HJ a a
           
Đ/s: 
3
.
3
4
S ABCD
a
V   (đvtt) và   
21
; .
7
a
d AD SB   
0,25 
8 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn tâm .I 
Tiếp tuyến tại B và C của đường trịn tâm I cắt nhau tại điểm .P Đoạn thẳng IP cắt BC 
tại điểm .H Gọi E và F lần lượt là trung điểm của PC và .BH Biết EF cĩ phương trình 
1,0 
I
J
D
H
B C
A
S
K
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 
3 3 0,x y   điểm F nằm trên trục hồnh, điểm  2;2 ,H điểm A nằm trên đường thẳng 
cĩ phương trình 5 6 0x y   và điểm A cĩ tọa độ nguyên. Tìm tọa độ các đỉnh của tam 
giác ABC và viết phương trình của đường trịn tâm .I 
Ta cĩ  F EF Ox   tọa độ của  F  là nghiệm của hệ  
 
3 3 0 1
1;0 .
0 0
x y x
F
y y
    
  
  
Do  F  là trung điểm  BH  
 
2 0
0; 2 .
2 2
B H F B
B H F B
x x x x
B
y y y y
   
    
    
  0,25 
Do  H  là trung điểm của   
2 0 4 4
4;6 .
2 2 4 6
B C H C C
B C H C C
x x x x x
BC C
y y y y y
      
     
       
  0,25 
Ta cĩ tính chất  090 .IFE  
Thật vậy ta cĩ   . .HBI CPI g g    
Mà  ,  IF IE  lần lượt là các đường trung tuyến tương ứng nên  IFH IEC ICEF   nội tiếp.  
Mà  0 090 90 .ICE IFE    
Ta cĩ  IF  đi qua   1;0F  và  : 3 1 0.IF EF IF x y      
Ta cĩ  IH  đi qua   2;2H  và nhận   1;2FH 

 là VTPT  : 2 6 0.IH x y     
Điểm   4;1 16 9 5.I IF IH I R IB         
Khi đĩ       
2 2
: 4 1 25.I x y     
0,25 
Điểm  A  là giao của đường trịn tâm  I  và đường thẳng 5 6 0x y    nên tọa độ của  A  là 
nghiệm của hệ  
       
2 2 2 2
2
1
4 1 25 4 1 25
26 42 16 0 8
5 6 0 5 6
13
x
x y x y
x x
xx y y x
                           
Vì điểm  A  cĩ tọa độ nguyên nên   1;1 .A   
Đ/s:             
2 2
1;1 , 0; 2 ,   4;6 ,   : 4 1 25A B C I x y       
Ngồi cách sử dụng tính chất   090IFE ta cĩ thể tham số hĩa điểm E rồi kết hợp với tọa độ 
điểm C suy ra tọa độ P. Sau đĩ cho P thuộc PH ta tìm được tọa độ E, từ đĩ viết được phương 
trình CI và tìm được tọa độ điểm I là giao của PH và CI. 
0,25 
E
F H
P
I
A
B C
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 
9a 
Giải phương trình 
  
 
  
3 26
8 14 2 2 2
( 1) 2 2 1
x x x x
x x x
x x x
  
    
   
 trên tập số thực. 0,5 
ĐK:  2x     (*) 
Biến đổi phương trình 
  
 
   
3 26
8 14 2 2 2
( 1) 2 2 1
x x x x
x x x
x x x
  
     
   
  
   
3 26
8 14 2 4 2
( 1) 1
x x x x
x x x
x x
  
     
 
 
3 2
6
8 14 2       (2)
( 1) 1
x
x x x
x x
x x

     
  
0,25 
Ta cĩ (2) 
 
 
3 1
8 2 2 2
( 1) 1 ( 1) 1
x xx
x x
x x x x

       
   
   
3
3
2 2 2 2 2 2
1 1 1
x x x
x x f f x
x x x
   
           
     
      (3) 
Xét hàm số    3 ,  f t t t t    cĩ   2'( ) 3 1 0,  f t t t f t       đồng biến trên  .  
Do đĩ   3 2 2,
1
x
x
x
  

 từ đĩ tìm được 
2 2 7
3
x

  thỏa mãn. 
Đ/s: 
6
2 2 7
3
x
x


 

0,25 
Mỗi ngày một cơ sở sản xuất 2 loại bánh là B1 và B2. Để sản xuất được 1 chiếc bánh loại B1 
cần 100g bột và 30g nhân; để sản xuất được một chiếc bánh loại 2 cần 150g bột và 50g 
nhân. Nguyên liệu mà cơ sở hiện cĩ là 24000g bột và 7500g nhân. Hỏi với lượng nguyên liệu 
hiện cĩ như trên, cơ sở nên sản xuất bao nhiêu bánh mỗi loại để doanh thu cao nhất. Biết 
rằng giá của mỗi chiếc bánh loại B1 là 10000 đồng và giá của mỗi chiếc bánh loại B2 lần là 
16000 đồng và giả sử bán hết bánh. 
0,5 
Gọi số bánh loại B1 cần sản xuất là  x  và số bánh loại B2 cần sản xuất là     , 0 .y x y   
Để sản xuất được 1 chiếc bánh loại B1 cần 100g bột, sản xuất được 1 chiếc bánh loại B2 cần 
150g bột nên nguyên liệu bột đã sử dụng để sản xuất là 100 150 .x y  
Do khơng được sử dụng quá số nguyên liệu hiện cĩ nên ta cĩ bất phương trình 
100 150 24000 2 3 480.x y x y      
Để sản xuất được 1 chiếc bánh loại B1 cần 30g nhân; sản xuất được 1 chiếc bánh loại B2 cần 
50g nhân nên nguyên liệu nhân đã sử dụng để sản xuất là  30 50 .x y  
Do khơng được sử dụng quá số nguyên liệu hiện cĩ nên ta cĩ bất phương trình 
30 50 7500 3 5 750.x y x y     . 
Theo đề ra ta được 
0
0
2 3 480
3 5 750
x
y
x y
x y

 

 
  
0,25 
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 
Ta cần tìm x, y để biểu thức 10000 16000S x y  lớn nhất. 
Miền đồ thị thỏa mãn hệ điều kiện là phần gạch carơ trong hình vẽ sau đây 
Ta cĩ  10000 16000 5 8 0.
2000
S
S x y x y       
Đây là phương trình của đường thẳng    cĩ phương khơng đổi và cắt trục hồnh tại điểm cĩ 
hồnh độ  .
2000
S
 Do đĩ ta cần xem đường thẳng cĩ phương khơng đổi    này di chuyển đến 
vị trí nào để 
2000
S
 lớn nhất. Bằng đồ thị ta thấy vị trí cần tìm chính là    đi qua giao điểm 
của hai đường thẳng  2 3 480x y   và  3 5 750x y   là điểm   150;60Q . Nghĩa là khi đĩ số 
bánh loại B1 là  150x  , số bánh loại B2 là  60y   và doanh thu là 2460000 đồng. 
0,25 
10 
Xét x, y, z là các số thực tùy ý thuộc đoạn  1;2 .  
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   
 
 
 
2
2
15
17.
4 16
x y x y
P
z xy yz zx z
 
  
  
1,0 
Ta cĩ 
   2 2
2 2
15 15( ) ( )
17 17.
4( ) 16 4( ) 4 16
x y x yx y x y
P
z xy yz zx z z x y z xy z
  
     
     
Do    
 22
2 2
15( )
4 17
4( ) ( ) 16
x yx y
xy x y P
z x y z x y z

     
   
2
2
15
17.
16
1 4
x y
x yz z
z zx y x y
z z z z
 
 
      
    
      
   
Đặt   
x y
t
z z
 vì     ,   ,   1;2 1;4 .x y z t   
Ta cĩ       
2 2
2 2 2
15 4 2 15
17 ' 0,   1;4 .
4 4 16 (1 4 ) 16
t t t
P f t t f t t
t t t t

         
   
Kết hợp với   f t  liên tục trên    1;4 f t  đồng biến trên  1;4   
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 
Anh Vũ Văn Bắc – Facebook: https://www.facebook.com/vuvanbac.xy.abc 
   
869 869
1   ,
48 48
f t f P      dấu " "  xảy ra  1,   2.x y z     
Đ/s:  min
869
48
P 