Đề thi môn toán 10 - trường THPT chuyên tỉnh Hà Giang

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI ĐỀ THI MÔN TOÁN
 TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH HÀ GIANG LỚP 10 
 ĐỀ THI ĐÈ XUẤT (Đề này có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1 (04 điểm): Giải hệ phương trình 
Câu 2 (04 điểm): Cho đường tròn ( O/ ; r1) và đường tròn ( O// ; r2) tiếp xúc ngoài tại C. Đường tròn (O; r) tiếp xúc ngoài với hai đường tròn ( O/ ; r1) và ( O// ; r2) . Tiếp tuyến chung tại C của đường tròn ( O/ ; r1) và ( O// ; r2) là d. Đường kính AB của đường tròn (O; r) vuông góc với d. Chứng minh rằng AO”, BO’, d đồng quy.
Câu 3 (04 điểm): Với ba số thực x, y, z dương thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 4 (04 điểm): Cho 2015 tập hợp, mỗi tập hợp có 45 phần tử và hai tập hợp bất kì có đúng một phần tử chung. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử thuộc tất cả 2015 tập hợp trên.
Câu 5 (04 điểm): Tìm các số tự nhiên thỏa mãn đẳng thức: 
.................HẾT.....................
 Người thẩm định	 Người ra đề
 Đinh Ngọc Diệp Tổ Toán-Tin 
	 (ĐT: 0977311724)
HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN: TOÁN, LỚP10
Lưu ý: Các cách giải khác hướng dẫn chấm, nếu đúng cho điểm tối đa theo thang điểm đã định.
Câu 
Nội dung
Điểm
1
Giải hệ phương trình 
Giải: Ta có: 
1,00
Từ phương trình (1) ta có: (Bất đẳng thức Cauchy)
 và 
1,00
Do nên áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta được: 
Hay 
1,00
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) là .
1,00
2
Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của đường tròn (O; r) với đường tròn ( O/ ; r1) và đường tròn ( O// ; r2). Vì d là tiếp tuyến của đường tròn ( O/ ; r1) và đường tròn ( O// ; r2) nên nên .
Ta lại có O, N, O’’ thẳng hàng do đó tam giác OBN đồng dạng tam giác O’’CN ( vì hai tam giác cân có ) 
suy ra nên B, C, N thẳng hàng.
1,00
Tương tự A, M, C thẳng hàng.
Suy ra 
Mà AB là đường kính của (O) nên 
Suy ra AN, BM, d đồng quy.
1,00
Gọi . Áp dụng định lý Ceva ta có:
(1)
Giả sử d cắt BO’ và AO’’ lần lượt tạ D và E.
Suy ra (2)
Tương tự (3)
1,00
Từ (1), (2),(3) suy ra , suy ra D trùng E.
Do đó AO’’, BO’,d đồng quy.
1,00
3
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng ta có
1,00
1,00
1,00
Vậy 
1,00
4
Xét tập hợp A trong 2015 tập hợp đã cho. A giao với 2014 tập hợp còn lại nên tồn tại là phần tử chung của không ít hơn tập hợp còn lại.
1,00
Giả sử a thuộc các tập hợp và trong 46 tập này không có hai tập hợp nào có phần tử chung khác a.
1,00
Ta sẽ chứng minh a thuộc tập B bất kì trong 1969 tập còn lại.
Thật vậy nếu a không thuộc B thì B có với mỗi tập hợp một phần tử chung khác a.
1,00
 suy ra B có không ít hơn 46 phần tử, điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy bài toán được chứng minh.
1,00
5
Giả sử là các số tự nhiên thỏa mãn đẳng thức đã cho và Ta có và khi đó 
1,00
Suy ra hay 
1,00
Với ta có đẳng thức chỉ thỏa mãn trong trường hợp 
1,00
Với đẳng thức không thể xảy ra vì 
Vậy và 
1,00