Đề thi minh họa ­ kỳ thi thpt quốc gia năm 2015 môn toán – Thời gian: 180 phút

TRƯỜNG THPT NGUYỄN CễNG TRỨ 
ĐỀ THI MINH HỌA ư KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 
MễN TOÁN – TG: 180 phỳt 
Cõu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số  4 2 2 y x 2mx m m = - - + +  (1) 
a)  Khảo sỏt và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = – 2 
b)  Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của m để đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại 4 điểm cú hoành độ lập thành một 
cấp số cộng. 
Cõu 2. (1,0 điểm) Giải phương trỡnh  2 sin 2x cos x 2sin x cos2x 3sin x - + = + 
Cõu 3. (1,0 điểm) 
a)  Gọi X là tập hợp cỏc số tự nhiờn gồm sỏu chữ số đụi một khỏc nhau được tạo thành từ cỏc chữ số 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiờn một số từ tập hợp X. Tớnh xỏc suất để số được chọn chỉ 
chứa ba chữ số lẻ. 
b)  Tỡm tập hợp cỏc điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z biết rằng số phức 
2 2( ) w i z iz z = + - -  là số thuần ảo. 
Cõu 4. (1,0 điểm) Giải phương trỡnh  3 2 2 3 3 2 10 17 8 2 5 - + - + = - x x x x x x 
Cõu 5. (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn 
( ) 3 2 
1 
1 ln 2 1 
2 ln 
e  x x x 
I dx 
x x 
+ + + 
= 
+ ũ 
Cõu 6. (1,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ABCD là hỡnh thoi tõm O cạnh a, gúc ABD bằng 120 0 , 
SA vuụng gúc (ABC), gúc giữa cạnh SC và (ABC) bằng 60 0 . Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD và 
khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SA và BM với M là trung điểm cạnh SD. 
Cõu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD cú B, C thuộc trục tung, phương 
trỡnh đường chộo AC: 3x + 4y – 16 = 0. Xỏc định tọa độ đỉnh A, B, C, D biết rằng bỏn kớnh đường trũn 
nội tiếp tam giỏc ABC bằng 1. 
Cõu 8. (1,0 điểm) Trong khụng gian Oxyz, cho cỏc điểm A(0;1;0); B(2;2;2); C(-2;3;4) và đường thẳng 
d cú phương trỡnh 
1 2 3 
2 1 2 
x y z - + + 
= = 
- 
. Tỡm M thuộc d sao cho thể tớch khối tứ diện MABC bằng 3. 
Cõu 9. (1,0 điểm) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa món điều kiện a 3 +b 3 = c 3 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 
biểu thức 
( )( ) 
2 2 2 a b c 
P 
c a c b 
+ - 
= 
- - 
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển( https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đó chia sẻ đờn 
www.laisac.page.tl
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
CÂU  ĐÁP ÁN  ĐIỂM 
Cõu 1 
(2,0 
điểm) 
a)  1,0 điểm 
m = – 2 => y = – x 4 + 4x 2 + 2 
TXĐ: D = R 
x x 
lim y lim y 
đ+Ơ đ-Ơ 
= = -Ơ 
y’ = = – 4x 3 + 8x 
x 0 
y ' 0 
x 2 
= ộ 
= Û ờ 
= ± ở 
BBT 
x -Ơ  2 -  0  2 +Ơ 
y’  +       0  –  0        +  0  – 
y  6 
-Ơ 
6 
2 -Ơ 
Hàm số tăng trờn  ( , 2) -Ơ -  và  (0, 2) 
Hàm số giảm trờn  ( 2,0) -  và  ( 2, ) +Ơ 
Điểm cực đại  ( 2,6) ±  , điểm cực tiểu (0 , 2) 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25
Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng 
b)  1,0 điểm 
Phương trỡnh hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và Ox là: 
4 2 2 x 2mx m m 0(2) - - + + = 
Đặt t = x 2 ( t 0 ³  ), (2) thành:  2 2 t 2mt m m 0(3) + - - = 
YCBT ú pt (2) cú 4 nghiệm phõn biệt lập thành cấp số cộng 
ú pt (3) cú 2 nghiệm phõn biệt dương t1, t2 thỏa  9t1 =  t2  (0 < t1 < t2) 
2 
2 
1 2 
2m m 0 
P m m 0 
S 2m 0 
9t t 
ỡD = + > 
ù 
= - - > ù Û ớ 
= - > ù 
ù = ợ 
2 
1 2 
1 2 
1 2 
1 
1 m 
2 
t t m m 
t t 2m 
9t t 
ỡ - < < - ù 
ù ù = - - Û ớ 
ù + = - 
ù 
= ù ợ 
1 
2 
2 
1 2 
1 
1 m 
2 
m 
t 
5 
9m 
t 
5 
t t m m 
ỡ - < < - ù 
ù 
ù = - ù Û ớ 
ù 
= - ù 
ù 
ù = - - ợ 
2 
2 
1 
1 m 
25 2  m 
34 9m 
m m 
25 
ỡ - < < - ù - ù Û Û = ớ 
ù = - - 
ù ợ 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Cõu 2 
(1,0 
điểm) 
2 sin 2x cos x 2sin x cos2x 3sin x - + = + 
2 2 2sin x cos x 2sin x 2cos x 1 3(1 cos x) cosx Û + = - + - + 
2 2sin x(cos x 1) cos x cosx 2 Û + = - + + 
0,25
2sin x(cosx 1) (cos x 2)(cosx 1) Û + = - - + 
(cos x 1)(2sin x cos x 2) 0 Û + + - = 
cos x 1 (1) 
2sin x cos x 2 (2) 
= - ộ 
Û ờ + = ở 
(1) x k2 (k Z) Û = p + p ẻ 
2 1 2 
(2) sin x cos x 
5 5 5 
Û + = 
Với 
2 1 
sin ,cos 
5 5 
a = a =  ta đươc 
cos(x ) sin cos 
2 
p ổ ử - a = a = - a ỗ ữ 
ố ứ 
x k2 
2  (k Z) 
x 2 k2 
2 
p ộ = + p ờ 
Û ẻ ờ 
-p ờ = + a + p ờ ở 
0,25 
0,25 
0,25 
Cõu 3 
(1,0 
điểm) 
a)  0,5 điểm 
Gọi Ω là khụng gian mẫu của phộp thử: “Chọn ngẫu nhiờn một số từ tập 
hợp X.” Khi đú  6 9 ( ) 60480 n A W = =  . 
•  Gọi A là biến cố: “Số được chọn chỉ chứa ba chữ số lẻ.” Khi đú 
+  Chọn ba chữ số lẻ đụi một khỏc nhau từ cỏc chữ số 1, 3, 5, 7, 9: cú  3 5 C  cỏch. 
+  Chọn ba chữ số chẵn đụi một khỏc nhau từ cỏc chữ số 2, 4, 6, 8: cú  3 4 C 
cỏch. 
+  Sắp xếp sỏu chữ số trờn để được số thỏa biến cố A: cú 6! Cỏch. 
Khi đú  3 3 5 4 ( ) . .6! 28800 n A C C = =  . 
•  Vậy xỏc suất để số được chọn chỉ chứa ba chữ số lẻ là 
( ) 28800 10 
( ) 0,48 
( ) 60480 21 
n A 
P A 
n 
= = = ằ 
W 
. 
0,25 
0,25
b)  0,5 điểm 
Giả sử  z x yi = +  với  , ẻ x y R . 
•  2  2 2 2( ) ( 2 ) (2 2 ) w i z iz z x y x y y x i = + - - = - - + + + - -  . 
•  2 2( ) w i z iz z = + - -  là số thuần ảo 
2 
2 2 2 2 2  1 5 2 0 2 0 ( 1) 
2 4 
x y x y x y x y x y ổ ử Û - - + + = Û + - - = Û - + - = ỗ ữ 
ố ứ 
. 
•  Vậy tập hợp cỏc điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z 
là đường trũn tõm 
1 
1; 
2 
I ổ ử ỗ ữ 
ố ứ 
cú bỏn kớnh 
5 
2 
R =  . 
0,25 
0,25 
Cõu 4 
(1,0 
điểm) 
Nhận xột: x = 0 khụng thỏa phương trỡnh cho 
Chia hai vế của phương trỡnh cho x 3 , ta được:  3 2 3 2 
10 17 8 5 
2 2 1 
x x x x 
- + - + = - 
Đặt ( ) 1  0 t t 
x 
= ạ  , phương trỡnh trở thành:  2 3 2 3 2 10 17 8 2 5 1 t t t t - + - + = - 
( ) ( ) ( ) 3 3  2 2 3 3 2 1 2 2 1 5 1 2 5 1 t t t t Û - + - = - + - ( ) ( ) 2 3 2 1 5 1 f t f t Û - = -  , với 
( )  3  2 , = + ẻ f t t t t R 
Ta cú: ( )  2 ' 3 2 0, = + > " ẻ f t t t R  nờn f đồng biến trờn R , vỡ vậy: 
( ) ( ) 2 2 3 3 2 1 5 1 2 1 5 1 f t f t t t - = - Û - = - 
( ) 3  2 3 2 
0 
17 97 
2 1 5 1 8 17 6 0 
16 
17 97 
16 
t 
t t t t t t 
t 
ộ 
ờ = 
ờ 
+ ờ Û - = - Û - + = Û = ờ 
ờ 
- ờ = ờ ở 
(loaùi) 
(nhaọn) 
(nhaọn) 
17 97 17 97 
16 12 
t x 
+ - 
= ị = 
17 97 17 97 
16 12 
t x 
+ + 
= ị = 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25
Vậy phương trỡnh cho cú 2 nghiệm: 
17 97 
12 
x 
± 
= 
Cõu 5 
(1,0 
điểm) 
Tớnh tớch phõn 
( ) 3 2 
1 
1 ln 2 1 
2 ln 
e  x x x 
I dx 
x x 
+ + + 
= 
+ ũ 
( ) 2  2 
1 2 
1 1 1 1 
ln 2  1 ln 1 ln 
2 ln 2 ln 2 ln 
e e e e x x x  x x 
I dx dx x dx dx I I 
x x x x x x 
+ + + 
= + = + = + 
+ + + ũ ũ ũ ũ 
Tớnh I1 
3 3 
1 
1 
1 
3 3 
e 
x e 
I 
- 
= = 
Tớnh I2: Đặt ( ) 2 ln 1 ln t x x dt x dx = + ị = + 
Đổi cận:  1 2 x t = ị =  ;  2 x e t e = ị = + 
2 
2 
2  2 
2 
1 2 
ln | | ln 
2 
e 
e  e 
I dt t 
t 
+ 
+ + 
= = = ũ 
Vậy: 
3  1 2 
ln 
3 2 
e e 
I 
- + 
= + 
0,25 
0,5 
0,25 
Cõu 6 
(1,0 
điểm) 
* Tam giỏc ABC đều cạnh a nờn AC = a, 
a 3 
BO 
2 
= 
* SA (ABC) ^  nờn AC là hỡnh chiếu của SC trờn (ABC) 
=> Gúc giữa SC và (ABC) là gúc SCA bằng 60 0 
* Tam giỏc SAC vuụng cú  0 SA AC.tan 60 a 3 = = 
* 
2 
ABCD ABC 
a 3 
S 2S 
2 
= = 
Vậy 
3 
S.ABCD ABCD 
1 a 
V SA.S 
3 2 
= = 
* Gọi N là trung điểm của AD 
0,25 
0,25
Cú MN // SA => SA // (BMN) 
ð  d(SA, BM) = d(SA, (BMN)) = d(A, (BMN)) 
Dựng AH BN ^  tại H ta được : 
AH BN 
AH (BMN) d(A,(BMN)) AH 
AH MN (do MN//SA) 
^ ỡ 
ị ^ ị = ớ ^ ợ 
* Tam giỏc ABM cú 
2 
2 2 2 0  7a BN AB AN 2AB.AN.cos120 
4 
= + - = 
a 7 
BN 
2 
ị = 
2 
0 
AMN 
1 a 3 
S AB.AN.sin120 
2 8 
= = 
=>  AMN 
2S  a 21 
AH 
BN 14 
= =  => 
a 21 
d(SA,BM) 
14 
= 
0,25 
0,25 
Cõu 7 
(1,0 
điểm) 
* C là giao điểm của AC và Oy => C(0 , 4) 
* Gọi B(0 , b) 
* Phương trỡnh AB: y = b (do AB vuụng gúc BC ºOy) 
* A là giao điểm của AB và AC => 
16 4b 
A ,b 
3 
- ổ ử 
ỗ ữ 
ố ứ 
0,25
* Gọi r là bỏn kớnh đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC. Ta cú: 
2 
ABC 
4 
b 4 2S  1 3 S pr r b 4 
4 5 AB BC CA 3 b 4 b 4 b 4 
3 3 
- 
= ị = = = - 
+ + - + - + - 
* r = 1 
b 1 A(4,1),B(0,1),C(0,4),D(4,4) 
b 4 3 
b 7 A( 4,7),B(0,7),C(0,4),D( 4, 4) 
= ị ộ 
Û - = Û ờ = ị - - - ở 
0,25 
0,25 
0,25 
Cõu 8 
(1,0 
điểm) 
MẻdịM(1+2m;-2-m;-3+2m) 
( ) ( ) ( ) 
( ) 
2;1;2 ; 2;2;4 , 0; 12;6 
2 1; 3;2 3 
, . 24 18 
AB AC AB AC 
AM m m m 
AB AC AM m 
ộ ự = = - ị = - ở ỷ 
= + - - - 
ộ ự = + ở ỷ 
uuur uuur uuur uuur 
uuuur 
uuur uuur uuuur 
24 18 18 1 1 
, . 3 24 18 
24 18 18 6 6 
0 (1; 2; 3) 
3 1 
2; ; 6 
2 2 
MABC 
m 
V AB AC AM m 
m 
m M 
m M 
+ = ộ ộ ự = Û = + Û ờ ở ỷ + = - ở 
= ị - - ộ 
ờ Û - - ổ ử ờ = ị - - ỗ ữ ờ ố ứ ở 
uuur uuur uuuur 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Cõu 9 
(1,0 
điểm) 
, , 0 ờ 0; 0 > = > = > 
a b 
Do a b c n n x y 
c c 
Ta cú: 
( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 1& 1 3 x y x y x y xy x y xy x y + = + = + + + = + + 
Chia cả tử và mẫu của P cho c 2 ạ 0 và thay x,y . Ta được: 
( )( ) 
( ) 
( ) 
2 2 2  2 1 1 
1 1 1 
x y xy x y 
P 
x y x y xy 
+ - - + - 
= = 
- - - + + + 
3  1 
3 
- 
= + ị = 
t 
Dat t x y xy 
t 
0,25
( )  3 3  3 2 
1 
1 
; 0 ờ 1 4 4 1 
4 
3 
> ỡ 
> ỡ ù > Û Û < Ê - ớ ớ 
Ê ³ ợ ù 
ợ 
t 
t 
Do x y n n t t 
t t 
t 
( ) 
3 
3 2 
3 2 2 3 
: 1 
3 3 1 1 1 
t t t 
Khi do P f t 
t t t t t 
- + + 
= = = + = 
- + - - - 
( ) 
3 
3 
3 
4 2 
1 4 ờ 
4 1 
+ 
< Ê ³ 
- 
Vi t n n f t 
3 
3 
3 
4 2 
: , 2 
4 1 
+ 
= = = 
- 
Vay MinP khi a b c a 
0,25 
0,25 
0,25 
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển( https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đó chia sẻ đờn 
www.laisac.page.tl