Đề thi Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh năm học 2015 - 2016 môn thi: toán lớp 9 thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

 Kớnh gởi : Tạp chớ toỏn tuổi thơ 
 ( đề này tụi sưu tầm và đó kiểm tra nội dung ,chỉnh sửa chớnh xỏc ) 
 Tờn : Trương Quang An 
 Giỏo viờn Trường THCS Nghĩa Thắng 
 Địa chỉ : Xó Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngói 
 Điện thoại : 01208127776 
SỞ GD&ĐT QUẢNG BèNH 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2015-2016 
Khúa ngày 23 thỏng 3 năm 2016 
Mụn thi: TOÁN 
Họ và tờn:.. 
SỐ BÁO DANH: 
LỚP 9 
Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) 
Đề gồm cú 01 trang 
Cõu 1 (2.0 điểm) 
Cho i u th c: 
2 2 2( 1)
1 1
x x x x x
P
x x x x
  
  
  
 v i 0 1x  . 
a. R t g n i u th c P 
b. T m x i u th c P ạt giỏ trị nh nh t 
Cõu 2 (3.0 điểm) 
a. Cho phương tr nh: 2 22 2 2 0x mx m    tham s m . T m m phương tr nh c 
hai nghiệm 1 2x , x th a món 1 2 1 2| 2 4 | 6x x x x    . 
 Giải hệ phương tr nh: 
3 2 3 2
2
2 2
2 4 6 11
x x y x y xy y
x x y x
    
     
Cõu 3 (2.5 điểm) 
 Cho tam giỏc ABC nội tiếp ường trũn O và ngoại tiếp ường trũn I , AI cắt 
 O tại M (khỏc A), J là i m i x ng v i I qua M G i N là i m chớnh giữa của 
cung ABM , NI và NJ lần lượt cắt O tại E và F . 
a Ch ng minh MI MB . Từ suy ra BIJ và CIJ là cỏc tam giỏc vuụng. 
 Ch ng minh , , , I J E F cựng nằm trờn một ường trũn 
Cõu 4 (1.5 điểm) 
 Cho , 0a b th a món 2a b  . T m giỏ trị l n nh t của i u th c sau: 
  
 2 2
1 1
M
a b b a
Cõu 5 (1.0 điểm) 
 T m t t cả cỏc s nguyờn dương m và n th a món iều kiện: 
  2 2 21 3 5n n m m m m       
-------------------hết----------------- 
SỞ GD&ĐT QUẢNG BèNH 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2015-2016 
Khúa ngày 23 thỏng 3 năm 2016 
Mụn thi: TOÁN 
 LỚP 9 
Đ p n n gồm cú 04 trang 
YấU CẦU CHUNG 
* Đỏp ỏn chỉ tr nh ày một lời giải cho mỗi ài Trong ài làm của h c sinh yờu cầu 
phải lập luận lụgic chặt chẽ, ầy ủ, chi tiết và rừ ràng 
* Trong mỗi ài, nếu h c sinh giải sai ở ư c giải trư c th cho i m 0 i v i những 
 ư c giải sau c liờn quan Ở cõu 3 nếu h c sinh khụng vẽ h nh hoặc vẽ h nh sai thỡ cho 
 i m 0 
* Đi m thành phần của mỗi ài n i chung phõn chia ến 0,25 i m Đ i v i i m thành 
phần là 0,5 i m th tuỳ tổ giỏm khảo th ng nh t chiết thành từng 0,25 i m 
* H c sinh c lời giải khỏc ỏp ỏn nếu ng vẫn cho i m t i a tuỳ theo m c i m 
của từng ài 
* Đi m của toàn ài là tổng khụng làm trũn s của i m t t cả cỏc ài 
Cõu Nội dung Điểm 
1 
C o 
2 2 2( 1)
1 1
x x x x x
P
x x x x
  
  
  
 v i 0 1x  . 
 n 
1,0 
 i 0 1x  ta c : 
2 ( 1)( 1)
( 1)
1 1
x x x x x x
x x x x
x x x x
   
    
   
0,25 
2 (2 1)
2 1
x x x x
x
x x
 
   0,25 
2( 1) 2( 1)( 1)
2( 1)
1 1
x x x
x
x x
  
  
 
 0,25 
( ) (2 1) 2( 1) 1P x x x x x x         
K t u n: 1, 0 1P x x x     
0,25 
 m x P n n 1,0 
 i 0 1x  ta c : 
21 3 31 ( )
2 4 4
P x x x       
0,50 
2 
D u xóy ra khi và chỉ khi 
1 1
0
2 4
x x    
K t u n: P ạt giỏ trị nh nh t khi và chỉ khi 
1
.
4
x  
0,50 
2 
 C o p n n : 2 22 2 2 0x mx m    m m m m 
p n n n m 1 2x , x m n 1 2 1 2| 2 4 | 6x x x x    
1,50 
Ta c : 2 2 22( 2) 4m m m     0,25 
Phương tr nh c hai nghiệm 1 2x , x  
20 4 0m    
2 2m   
0,25 
Theo ịnh l iet ta c : 
2
1 2 1 2
2
; .
2
m
x x m x x

    
Theo ài ra: 
2
1 2 1 2
2
| 2 4 | 6 2. 4 6
2
m
x x x x m

        
0,25 
2
2
2
6 6
| 6 | 6
6 6
m m
m m
m m
      
    
 0,25 
     
  
   
  
2
2
4 (loại) hoặc 3 (loại)12 0
0 hoặc 10
0 hoặc 1
m mm m
m mm m
m m
K t u n: 0 ; 1m m  
0,50 
 p n n 
3 2 3 2
2
2 2
2 4 6 11
x x y x y xy y
x x y x
    
     
 1,50 
ĐKXĐ:  2 0 2 44 0x xx      
 
3 2 3 2
2
2 2 (1)
2 4 6 11 (2)
x x y x y xy y 
x x y x 
    
     
0,25 
Từ 1 ta c : 
3 2 3 2
3 2 3 2
3 3
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 0
( ) 2 ( ) ( ) 0
( )[( ) 2 1] 0
( )( 1) 0
0 ( 1 0 , )
 x x y x y xy y
x x y x y xy y
x y xy x y x y
x y x xy y xy
x y x xy y
x y do x xy y x y
x y
    
      
      
      
     
        
 
0,50 
Thay x y vào 2 ta c : 22 4 6 11 (3)x x x x       
2 26 11 ( 3) 2 2, [2; 4]VP x x x x          
D u xóy ra 3x  
0,25 
2 4 ( 2).1 (4 ).1VT x x x x        
( 2) 1 (4 ) 1
2, [2; 4]
2 2
x x
 x 
   
     
D u xóy ra khi 3x  
0,25 
3 
 2 2 4 2(3) 36 11 2x x xx x        
Do 3x  nờn 3y  
K t u n: ( ; ) (3; 3)x y  
0,25 
3 
C o m ABC nộ ếp ờn ũn O và n o ếp ờn ũn 
(I), AI ắ O M (khỏc A), J là m x n vớ I qua M 
N là m ớn ữ ủ n ABM , NI và NJ lần l ợ ắ O 
E và F . 
 C n m n MI MB ừ y BIJ và CIJ là cỏc tam giỏc 
vuụng. 
1,50 
F
E
N
J
M
I
O
B C
A
0,25 
Ta cú:  
2
A
MBC MAC (AM là phõn giỏc gúc BAC ) 
    
2 2
A B
MBI MBC CBI (1) 
0,25 
   
2 2
A B
MIB IAB IBA 2 tớnh ch t gúc ngoài tam giỏc) 0,25 
Từ 1 và 2 suy ra tam giỏc MBI cõn tại M, do MI MB 
Tương t ta c : MI = MC. 
0,25 
X t tam giỏc BIJ ta c : 
1
2
MB MI IJ   tam giỏc BIJ vuụng tại B 
Tương t : tam giỏc CIJ vuụng tại C 
 ậy BIJ và CIJ là cỏc tam giỏc vuụng tại B và C 
0,50 
 C n m n , , , I J E F ựn nằm ờn mộ ờn ũn 1,0 
Ta cú:   1 sđ sđ
2
NFE NA AE ;   1 sđ sđ
2
AIE NM AE 0,25 
4 
Mà sđ = sđNA NM N là i m chớnh giữa cung ABM ) NFE AIE 0,25 
Mặt khỏc   0180NFE EFJ và   0180AIE EIJ  EFJ EIJ . 
Hơn nữa I và F nằm về cựng một phớa so v i JE 
K t u n: , , , I J E F cựng thuộc một ường trũn 
0,50 
4 
Cho , 0a b thỏa món 2a b  . Tỡm giỏ trị ớn nhất của biểu thức: 
 
 2 2
1 1
M
a b b a
1,5 
Trư c hết ta ch ng minh v i 0a  thỡ     
2 2 1 (*)a b a b a    
Thật vậy: 
2 2 2 2 2
(*) 2a ab b a a ab b          22ab a ab 
   
2
1 0a b (do a > 0) 
0,50 
Từ * 
 

 
 
22
1 1a
a b a b
Tương t : 
 
22
1 1b
b a b a


 
Cộng vế theo vế ta ược: 
2 2 2
1 1 2
(1)
( )
a b
M
a b b a a b
 
  
  
0,25 
Ta ch ng minh v i , 0a b th a món 2a b  thỡ 
2
2
1 (2)
( )
a b
a b
 


Thật vậy: 
2
(2) ( ) ( ) 2 ( 1)( 2) 0a b a b a b a b           (do 2a b  ) 
0,50 
5 
Từ 1 và 2 suy ra 1M  
D u xóy ra khi 1a b  . 
 ậy giỏ trị l n nh t của M ằng 1 khi 1a b  . 
0,25 
 m n yờn d n m và n m n ề k n 
  2 2 21 3 5n n m m m m       1,0 
Từ iều kiện   2 2 2 4 21 3 5 8 15n n m m m m m m m           
X t phương tr nh ậc hai : 2 4 2( 8 16) 0 (1)n n m m m      ẩn s n 
0,25 
Đ phương tr nh 1 c nghiệm nguyờn dương th 
4 24 4 32 63m m m     phải là một s chớnh phương 
Ta cú               
2 222 22 2 4 4 3 2 2 , *m m m m 
0,25 
Mặt khỏc    
2
22 1 32 2m m     
Do              
2 2
2 22 1 32 2 2 1 , 2m m m m 
Khi :          
2 2
2 22 1 2 2 , 2m m m 
Suy ra 1 chỉ c nghiệm nguyờn dương n khi 1m  hoặc 2m  
0,25 
Nếu 1m  thỡ 2 6 0n n   vụ nghiệm 0,25 
5 
Nếu 2m  thỡ 

    
 
2
4
20 0
5 (loại)
n
n n
n
Thử lại m 2 và n 4 th a món iều kiện ài toỏn 
K t u n : m = 2 ; n = 4. 
Cỏc cỏch khỏc của cõu 4,5 
Cõu bất đẳng thức :Đặt 1 , 1a x b y    vỡ 2a b  , , 0x y  
Ta cú 
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1
2 2 2 2 2 2a b a b x x y y y x
     
       
Vỡ 2 22 2 2; 2 2 2x x y y y x        v i iều kiện cua x,y ở trờn 
Max A là 1 khi a=b=1 
Cõu cu i 2 2 21 ( 5)( 3)n n m m m m       
C1 : BIẾN ĐỔI THÀNH : 3 2( 4)( 5) ( 2)( 2 10 18)n n m m m m       
Vỡ 2 bậc của m,n khỏc nhau nờn : 
3 2
( 4)( 5) 0
( 2)( 2 10 18 )
n n
m m m m
  

   
hay 
4
2
n
m



Bị chỳ : 24nm  là ngày thi hsg c p tỉnh quảng bỡnh 
 (m+n):2=3 là thỏng 3 
m=2;n-2m=0;m+n=6 là 2016 
kết hợp 24/3/2016 
hay da: cao thử toỏn h c :Trương Quang An +giỏo dục việt nam khụng cần tụi vỡ tụi 
khụng cú tiền và quyền l c