Đề thi Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 thcs môn thi : Toán thời gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề )

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
 BÌNH ĐỊNH KHĨA NGÀY : 23 – 3 – 2010 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi : TỐN
	Thời gian : 150 phút ( khơng kể thời gian phát đề )
	Ngày thi : 23/ 3/ 2010
 	------------------------------------
Bài 1: (3,0 điểm)
	1. Giải phương trình:	
	2. Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 2009 và tổng các chữ số của nĩ bằng 2010
Bài 2: (3,0 điểm)
	Cho phương trình (1) ( m là tham số).
1. Tìm m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm dương phân biệt.
2. Với giá trị nào của m thì phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức: x13 + x23 - x12 - x22 = -2
Bài 3: (4,0 điểm) 
1. Tìm x,y để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất
2. Cho đa thức P(x) bậc 5 cĩ các hệ số nguyên. Biết rằng P(x) nhận giá trị 2003 với 4 giá trị nguyên khác nhau của x. Chứng minh rằng: Với mọi x‏ Ỵ Z thì P(x) khơng thể cĩ trị số bằng 2010.
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC, điểm M ở trong tam giác, các đường thẳng AM, BM, CM, lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại P,R,Q. Kí hiệu SABC là diện tích tam giác ABC.
a. Chứng minh rằng: MA.BC + MB.CA + MC.AB ³ 4SABC
b. Xác định vị trí của M để diện tích tam giác PQR lớn nhất.
Bài 5: (4,0 điểm)
1. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn hệ thức a + b + c = 6abc. Chứng minh rằng:
2. Cho ba số thực α, β, γ > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M = Với mọi x, y, z > 0
GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH - Năm học: 2009 – 2010.
Đoàn Cát Nhơn : GV THCS Nhơn Lộc – An Nhơn – Bình Định.
Bài 1: 1. (1) ĐK : x ≤ . 
Với ĐK trên ta đặt: . Thế vào PT (1) ta được: 
t2 – 14t + 45 = 0 
+ Với t = 9 ta được x = 0 (TMĐK)
+ Với t = 5 ta được x = 2. (TMĐK) Vậy PT (1) cĩ 2 nghiệm x = 0 ; x = 2.
2.Trước tiên ta dễ chứng minh nhận xét sau: Mọi số dạng thì chia hết cho a. 
(Ta cĩ thể chứng minh bằng quy nạp) 
Theo trên ta sẽ chọn số cĩ dạng A = chia hết cho 2009. Bây giờ ta đi tìm n.
Theo đề tốn thì tổng các chữ số của A bằng 2010. Suy ra 11n = 2010 ( loại ). Bằng cách chọn tương tự ta được số cĩ dạng A = chia hết cho 2009. Mặt khác: 15n = 2010 n = 134. Vậy tồn tại số cĩ dạng thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
Bài 2: x2 – 2mx + 2m2 – 1 = 0 (1)
Ta cĩ: ; x1 + x2 = 2m; x1.x2 = 2m2 – 1 . (2)
1. Để PT (1) cĩ 2 nghiệm dương phân biệt thì .
2. Ta cĩ: 
. (3)
Từ (2) và (3) với các biến đổi ta được: 
Kết hợp với ĐK cĩ nghiệm ta được m = 0 là giá trị duy nhất.
Bài 3: 
P = 3x2 + 11y2 – 2xy – 2x + 6y – 1 .
Ta đưa về PT bậc 2 với ẩn x : 3x2 – 2x.(y + 1) + 11y2 + 6y – 1 – P = 0. (1)
Để tồn tại nghiệm x thì PT (1) phải cĩ: 
.
Đẳng thức xảy ra khi . Vậy P nhỏ nhất bằng – 2 khi .
Do P(x) nhận giá trị 2003 với 4 giá trị nguyên khác nhau của x nên ta đặt :
. Trong đĩ: h(x) là đa thức bậc nhất với hệ số nguyên ( chẳng hạn: h(x) = ax + b; a, b nguyên); . 
Ta sẽ dùng phản chứng, giả sử rằng tại x = x0 nguyên ta cĩ: P(x0) = 2010 suy ra:
Vì nên vế trái của (*) là tích của ít nhất 4 số nguyên khác nhau và khác khơng. Cịn VP = 7 chỉ cĩ thể phân tích 1.7 hoặc (-1).(-7) là tích hai số nguyên khác nhau. Nên đẳng thức (*) khơng thể xảy ra. Hay giả sử trên là sai. Bài tốn được chứng minh.
Bài 4: 
Ta cĩ: 
.
Tương tự ta cũng cĩ: 
. Cộng theo vế ta sẽ được điều cần chứng minh.
Đặt SPMQ = x; SQMR = y; SRMP = z . 
Ta cĩ: .
.Tương tự ta cũng cĩ: 
Cộng theo vế các BĐT (1), (2) và (3) ta được: . (4)
Mặt khác dùng BĐT Cơ-si ta sẽ chứng minh được nên từ (4) suy ra:
. 
Đẳng thức xảy ra khi: M là trọng tâm của tam giác ABC.
Vậy khi M là trọng tâm của tam giác ABC thì 
Bài 5:
Dự đốn dấu = xảy ra khi a = b = c = . Từ đĩ ta áp dụng BĐT Cơ-Si như sau:
Ta cĩ: ;  cộng theo vế và biến đổi ta được:
. (*)
Mặt khác: nên từ (*) ta cĩ: 
 . Dấu = xảy ra khi a = b = c = .
Giả sử > 0 ta cĩ:
.
Đặt a = x + y; b = y + z; c = z + x ta được: