Đề thi Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 năm học 2015 - 2016 môn thi : Toán thời gian làm bài : 150 phút

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                          KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
            QUẢNG NGÃI                                                                           LỚP 9 NĂM HỌC 2015 - 2016
         ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                              Ngày thi: 24/02/2016
                                                                                                                         Môn thi : Toán
                                                                                                               Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1: (4,0 điểm)
a) Tìm ba số nguyên tố đôi một khác nhau, biết rằng tích của ba số đó bằng năm lần tổng của chúng.
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn đẳng thức
c) Tìm các số a,b,c  biết ;;
Bài 2: (4,0 điểm)
Giải phương trình 
Giải hệ phương trình 
Bài 3: (4,0 điểm)
Cho x,y,zx,y,z là các số thực thỏa mãn điều kiện x+y+z+xy+yz+zx=6
Chứng minh rằng 
Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng nếu b là số trung bình cộng của a và c thì  
Bài 4: (5,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Vẽ hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên cung nhỏ AD. Nối E với C cắt OA tại M; nối E với B cắt OD tại N.
a) Tính  theo RR.
b) Chứng minh rằng tích là một hằng số
c) Tìm vị trí của điểm E để tổngđạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó.
Bài 5: (3,0 điểm)
a) Cho tam giác ABCABC có độ dài ba cạnh là ba số nguyên liên tiếp (cùng đơn vị đo). Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó, biết 
b) Cho tam giác nhọn ABCABC có,. Bên trong tam giác này cho 2017 điểm bất kì. Chứng minh rằng trong 2017 điểm ấy luôn tìm được 169 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1cm .
TRƯƠNG QUANG AN 
BỊ CHÚ :-Ai muốn biết lời giải liên hệ tôi nhé ,đề thi gì mà dễ ,vô cùng dễ .Tôi giải được 20/20 .
Bài làm 
Bài 1: (4,0 điểm)
Tìm ba số nguyên tố đôi một khác nhau, biết rằng tích của ba số đó bằng năm lần tổng của chúng.
 Bài làm 
Ta có 5(a+b+c )=a.b.c (1)
Từ (1) suy ra a,b,c một trong ba số phải có 1 số chia hết cho 5.
Gỉa sử c chia hết cho 5 mà c là số nguyên tố nên c=5 .Với c=5 ta có : 
5(a+b+5 )=a.b.5 nên (1-b)(1-a)=6 
TH1: 1-b=2 và 1-a=3 nên b=-1 và a=-2 (trường hợp này không thỏa mãn )
TH2: 1-b=3 và 1-a=2 nên b=-2 và a=-1 (trường hợp này không thỏa mãn )
TH3: 1-b=-3 và 1-a=-2 nên b=4 và a=3 (trường hợp này không thỏa mãn )
TH4: 1-b=-1 và 1-a=-6 nên b=2và a=7 (trường hợp này thỏa mãn )
TH5: 1-b=-6 và 1-a=-1 nên b=7 và a=2 (trường hợp này thỏa mãn )
TH6: 1-b=-2 và 1-a=-3 nên b=3 và a=4 (trường hợp này không thỏa mãn )
Vậy c=5;b=2,a=7 và c=5;a=2,b=7
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn đẳng thức
Bài làm
Từ đề bài ta có (x-2y)(x-y+2)=-3=-1.3=-3.1
TH1: x-2y=3và x-y+2=-1 nên y=-6 và x=-9 (trường hợp này không thỏa mãn )
TH2: x-2y=-3và x-y+2=1 nên y=2 và x=1 (trường hợp này thỏa mãn )
Vậy y=2 và x=1
c)Tìm các số a,b,c  biết ;;
Bài làm
Từ giả thuyết đề bài ta có a,b,c >0 .
Từ giả thuyết ta suy ra 
Từ giả thuyết ta suy ra 
Từ giả thuyết ta suy ra 
Lúc đó a=b=c .Thay a=b=c vào phương trình ta có : a=b=c =1
Vậy a=b=c =1
Bài 2: (4,0 điểm)
a)Giải phương trình 
Điều kiện .
Ta có .
Với thì là vô nghiệm .Nên ta có 
Giải hệ phương trình 
Ta có phương trình đầu (1)
Ta có phương trình sau : 
Ta có nghiệm 
Bài 3: (4,0 điểm)
a)Cho x,y,zx,y,z là các số thực thỏa mãn điều kiện x+y+z+xy+yz+zx=6
Chứng minh rằng 
Và 
Nên 
b)Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng nếu b là số trung bình cộng của a và c thì  
Ta có : 
Bài 4: (5,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Vẽ hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên cung nhỏ AD. Nối E với C cắt OA tại M; nối E với B cắt OD tại N.
a) Tính  theo RR.
b) Chứng minh rằng tích là một hằng số
c) Tìm vị trí của điểm E để tổngđạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó.
Bài 4: a) Ta có ΔCMO∼ΔCDE(g.g)
⇒
Lại có
Nên 
Thấy không có ai làm bài hình, để mình làm trước câu a cho nó xôm nha:
Bài 4: a) Ta có ΔCMO∼ΔCDE(g.g)ΔCMO∼ΔCDE(g.g)
⇒CEOC=CDCM⇒CE.CM=OC.CD=R.2R=2R2⇒CEOC=CDCM⇒CE.CM=OC.CD=R.2R=2R2
Lại có BD2=2OD2=2R2BD2=2OD2=2R2
Từ đó ta được CM.CE+BD2=4R2CM.CE+BD2=4R2
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABCΔABC
Kẻ OH, OK, OG lần lượt vuông góc với các cạnh AB, AC, BC
* Xét ΔABCΔABC
Dễ c/m: các tứ giác AHOK, BHOG, KOGC nội tiếp các đường tròn đường kính OA=OB=OC=2 cm
mà có 2017 điểm
Theo nguyên lí Diriclet thì sẽ tồn tại một tứ giác có chứa ít nhất 673 điểm, giả sử đó là tứ giác OKCG
* Xét tứ giác OKCG
Gọi I là trung điểm OC => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OKCG
=> IO=IK=IC=IG=1 cm
Kẻ IM, IN, IP, IQ lần lượt vuông góc với OK, KC, CG, GO
=> 4 tứ giác OMIQ, MKNI, INCP, PGQI nội tiếp các đường  tròn đường kính bằng 1 cm
mà có 673 điểm
Theo nguyên lí Diriclet thì sẽ tồn tại một tứ giác có chứa ít nhất 169 điểm, giả sử đó là tứ giác MKNI
Khi đó 169 điểm này sẽ thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác MKNI có đường kính IK=1 cm
=> Khoảng cách 169 điểm này không lớn hơn 1 cm (ĐPCM)
5a_3ˆBAC+2ˆABC=ˆBAC+ˆABC+ˆACB=180oˆACB=2ˆBAC+ˆABC3BAC^+2ABC^=BAC^+ABC^+ACB^=180oACB^=2BAC^+ABC^
Vậy góc C là góc lớn nhất đồng nghĩa với việc AB là cạnh lớn nhất trong tam giác.
Giả dụ AB>BC>AC.
Đặt AC=a, BC=a+1 và AB=a+2.
Lấy điểm T trên AB sao cho TB=a+1, TA=1 (AB>BC)
Tam giác BCT cân tại B =>ˆTCB=ˆCTB=>ˆBCA=ˆBCT+ˆTCA=ˆBTC+ˆTCA=2ˆTCA+ˆCAB=>ˆACT=ˆCBT=>ΔACT∼ΔABC=>1a=aa+2=>a=2TCB^=CTB^=>BCA^=BCT^+TCA^=BTC^+TCA^=2TCA^+CAB^=>ACT^=CBT^=>ΔACT∼ΔABC=>1a=aa+2=>a=2
Với AB>AC>BC giải tương tự