Đề thi Kì thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2016 – 2017 môn thi: Toán thời gian làm bài : 120 phút

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học 2016 – 2017
Môn thi: Toán
Ngày thi 08/6/2016
Thời gian làm bài : 120 phút
Bài 1: (2điểm)
 Cho hai biểu thức và với 
Tính giá trị biểu thức A khi x = 25
Chứng minh 
Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị là số nguyên
Bài 2 ( 2điểm)
 Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
 Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720m2. Nếu tăng chiều dài thêm 10m và giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.
Bài 3 (2điểm)
Giải hệ phương trình: 
Trong mặt phẳng toạn độ Oxy cho đường thẳng (d): và Parabol (P): 
Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m
Gọi x1,x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm m để 
Bài 4( 3,5điểm)
 Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) ( B là tiếp điểm) và đường kính BC. Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I ( I khác C, I khác O). Đường thẳng IA cắt (O) tại hai điểm D và E ( D nằm giữa A và E). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng DE.
Chứng minh bốn điểm A,B,O, H cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh 
Đường thẳng d đi qua điểm E song song với AO, d cắt BC tại điểm K. Chứng minh: HK // DC
Tia CD cắt AO tại điểm P, tia EO cắt BP tại điểm F. Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật.
Bài 5 (0,5 điểm)
 Với các số thực x, y thỏa mãn , tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y.
 .Hết.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:.Số báo danh:
HD:
Bài 1:
ta có x = 25 (tmđk) => , Thay vào A ta được: A = 
Ta có 
Với đk, ta luôn có P > 0 (1)
Do (2)
 Từ (1) và (2) ta có 
Do P nguyên, nên 
+ Với P = 1 (tmđk)
+ Với P = 2 (tmđk)
Bài 2: 
 Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m, x > 0) 
=> chiều rộng hình chữ nhật là : (m)
Do tăng chiều dài thêm 10m và giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh vườn không đổi, nên ta có phương trình:
 Giải phương trình tìm được x1 = 30 (tmđk); x2= 40( không tmđk)
Vậy chiều dài hình chữ nhật là 30m, chiều rộng là m
Bài 3:
1) ĐK: Đặt , ta có hpt: 
 (tmđk)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) =(2; -1)
2) a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
 (*)
 Có với mọi m
 => Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Chứng tỏ (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m
b) Theo câu a) (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m
 Khi đó hoành độ giao điểm x1; x2 là nghiệm của phương trình: (*)
 Theo hệ thức viet ta có : 
Để 
 ó 
Bài 4:
1) Xét (O) có đường Kính OH đi qua trung điểm H của dây DE ( H khác )
 => OH DE ( quan hệ vuông góc đường kính dây cung)
 => 
 => tứ giác ABOH nội tiếp ( tổng 2 góc đối bằng 1800)
 => 4 điểm A,B,O,H cùng thuộc một đường tròn.
2) Ta có ( góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và day cung cùng chắn cung BD)
 => ABD đồng dạng AEB (g.g) 
 => 
3) Tứ giác ABOH nội tiếp (cmt) => ( 2 góc nội tiếp cùng chắn )
 Mà EK // AO => ( 2 góc so le trong)
=> 
=> tứ giác HKEB nội tiếp
=> (1)
Mà tứ giác DCEB nội tiếp => (2 góc nội tiếp cùng chắn ) (2)
Từ (1) và (2) => 
Mà 2 góc ở vị trí đồng vị nên HK // DC
4) Kẻ thêm tiếp tuyến AQ với đường tròn (O)
 Ta có AO là đường trung trực của BQ (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên BQ AO 
 => ( cùng phụ )
 => ( cùng bằng )
 Mà ( 2gnt cùng chắn của (O))
 => 
 => tứ giác APDQ nội tiếp 
 => (1)
 Do AO là đường trung trực của BQ nên (t/c đối xứng) (2)
 Từ (1) và (2) => 
 Mà ( do AB là tiếp tuyến)
 => 
 Mà tứ giác BECF là hình bình hành ( có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) nên tứ giác BECF là hình chữ nhật.
Bài 5: 
 + HS chứng minh được BĐT : với mọi a,b 0
 ( dùng phép biến đổi tương đương đưa BĐT về BĐT : điều này là luôn đúng – BĐT Coossi)
 + Áp dụng BĐT trên ta có:
 (1) 
 Ta có (2)
 Ta có 
 (3)
Từ 1,2,3 => 
+ 
+
Vậy Max(x+y) = 6 khi x = y = 3; Min(x + y) = 4 khi (x; y) = (6; 10) hoặc (x; y) = (10; -6)