TRƯỜNG THPT CHUYấN HÙNG VƯƠNG ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư ĐỀ THI KHẢO SÁT MễN: TOÁN LỚP: 12 Thời gian làm bài: 180 phỳt khụng kể giao đề Đề thi cú 01 trang Cõu 1 (2 điểm). Cho hàm số ( ) 3 2 2 1 1 ( ) , m y x m x m C = + - - + m là tham số thực. a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số đó cho khi 1. m = - b) Tỡm m để đường thẳng 2 1 y mx m = - + và ( ) m C cắt nhau tại ba điểm phõn biệt. Cõu 2 (1 điểm). a) Giải phương trỡnh ( ) 2 3 2 1 2 cos sin cos cos . x x x x + - = + b) Giải phương trỡnh ( ) 3 3 3 2 3 1 2 log log log . x x - + + = + Cõu 3 (1 điểm). Tớnh tớch phõn 2 0 2 1 1 ln d . x x e I x e - = + ũ Cõu 4 (1 điểm). a) Khai triển và rỳt gọn biểu thức 2 1 2 1 1 ( ) ... ( ) n x x n x - + - + + - thu được đa thức 0 1 ( ) ... n n P x a a x a x = + + + . Tỡm 8 a , biết rằng n là số nguyờn dương thoả món 2 3 1 7 1 n n n C C + = . b) Trong kỳ thi tuyển sinh đại học, bạn Thọ dự thi hai mụn thi trắc nghiệm Vật lớ và Húa học. Đề thi của mỗi mụn gồm 50 cõu hỏi; mỗi cõu cú 4 phương ỏn lựa chọn, trong đú cú 1 phương ỏn đỳng, làm đỳng mỗi cõu được 0,2 điểm. Mỗi mụn thi Thọ đều làm hết cỏc cõu hỏi và chắc chắn đỳng 45 cõu; 5 cõu cũn lại Thọ chọn ngẫu nhiờn. Tớnh xỏc suất để tổng điểm 2 mụn thi của Thọ khụng dưới 19 điểm. Cõu 5 (1 điểm). Cho hỡnh chúp . S ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng tại A , 2 , AB a = . AC a = Cỏc cạnh bờn của hỡnh chúp bằng nhau và bằng 2. a Gọi , M H lần lượt là trung điểm của AB và BC , I là điểm thỏa món 1 3 . BI AC = uuur uuur Tớnh theo a thể tớch khối chúp . S ABC và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng MH và . SI Cõu 6 (1 điểm). Trong khụng gian với hệ trục , Oxyz cho cỏc điểm ( ) ( ) 0 0 1 0 1 0 ; ; , ; ; . A B Viết phương trỡnh mặt phẳng đi qua cỏc điểm , A B đồng thời cắt trục Oz tại điểm C sao cho tứ diện OABC cú thể tớch bằng 1. Cõu 7 (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , cho tam giỏc ABC cú đường trung tuyến AM và đường cao AH lần lượt cú phương trỡnh 13 6 2 0, x y - - = 2 14 0. x y - - = Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam giỏc ABC biết tõm đường trũn ngoại tiếp của tam giỏc ABC là ( ) 6 0 ; . I - Cõu 8 (1 điểm). Giải bất phương trỡnh 14 2 5 11 2 . x x x + > + - Cõu 9 (1 điểm). Giả sử a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món 1. a b c + + = Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 3 4 5 5 ( ) . ( ) ( ) a b P a b b c bc c a ca = + - + + + + + ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưHẾTưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư Cảm ơn thầy Bựi Văn Nam (nambv.c3hungvuong@gmail.com) đó gửi tới www.laisac.page.tl TRƯỜNG THPT CHUYấN HÙNG VƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM MễN TOÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT LỚP 12 Cõu Nội dung Điểm 1 a) Khi 1 m = - hàm số trở thành 3 2 3 2. y x x = - + 1) Tập xỏc định: . R 0,25 2) Sự biến thiờn: * Giới hạn tại vụ cực: Ta cú lim x y đ-Ơ = -Ơ và lim . x y đ+Ơ = +Ơ * Chiều biến thiờn: Ta cú 2 3 6 ' ; y x x = - 0 0 2 ' . x y x = ộ = Û ờ = ở Suy ra : hàm số đồng biến trờn mỗi khoảng ( ) ( ) 0 2 ; , ; ; -Ơ + Ơ nghịch biến trờn khoảng ( ) 0 2 ; . * Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 0 2 , , C x y = = Đ hàm số đạt cực tiểu tại 2 2 , . CT x y = = - 0,25 * Bảng biến thiờn: 0,25 3) Đồ thị: 0,25 b) Xột phương trỡnh hoành độ giao điểm ( ) 3 2 2 1 1 2 1 ( ) * x m x m mx m + - - + = - + 3 2 2 1 2 0 ( ) x m x mx Û + - - = 0,25 0 1 ; x x Û = = hoặc 2 x m = - . 0,25 x O 2 y 2 - 2 x ' y y 0 Ơ - Ơ + 2 2 Ơ - Ơ + 2 - + – 0 0 + Yờu cầu bài toỏn tương đương với phương trỡnh ( ) * cú ba nghiệm phõn biệt 0,25 Do đú 0 m ạ và 1 2 m ạ - thỏa món bài toỏn. 0,25 2 a) Phương trỡnh đó cho tương đương với 2 2 2 3 2 1 2 sin cos sin .cos cos sin x x x x x x + + - = + 0,25 2 3 2 2 sin cos sin x x x Û - = 1 3 2 2 2 2 sin cos sin x x x Û - = 0,25 2 2 3 2 3 2 2 3 sin sin x x k x x x x k p p p p p p ộ - = + ờ ổ ử Û - = Û ờ ỗ ữ ố ứ ờ - = - + ờ ở 0,25 2 3 4 2 9 3 . x k k x p p p p ộ = + ờ Û ờ ờ = + ờ ở 0,25 b) Điều kiện: 2. x > Phương trỡnh đó cho tương đương với ( ) ( ) 3 3 3 2 3 6 log log log x x - + + = 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 6 2 3 6 log log x x x x Û - + = Û - + = 0,25 2 12 0 3 x x x Û + - = Û = hoặc 4 x = - . 0,25 So sỏnh với điều kiện, thu được nghiệm: 3. x = 0,25 3 Đặt d d . x x e t e x t = ị = Đổi cận: 0 1 2 2 , ln . x t x t = ị = = ị = 0,25 Suy ra ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 3 1 1 1 dt d t I t t t t t - ổ ử = = - ỗ ữ + + ố ứ ũ ũ 0,25 ( ) ( ) 2 1 3 1 ln ln | t t = + - 0,25 = 3 3 4 2 ln ln . - 0,25 4 a) Ta cú 2 3 3 1 7 1 2 7 3 1 1 1 2 . ! ( ) ( )( ) n n n n C C n n n n n n ³ ỡ ù + = Û ớ + = ù - - - ợ 2 3 9 5 36 0 . n n n n ³ ỡ Û Û = ớ - - = ợ Suy ra 8 a là hệ số của 8 x trong khai triển biểu thức 8 9 8 1 9 1 ( ) ( ) . x x - + - 0,25 Hệ số của 8 x trong khai triển biểu thức 8 8 1 ( ) x - là 8 8 8 , C hệ số của 8 x trong khai triển biểu thức 9 9 1 ( ) x - là 8 9 9 . C Suy ra 8 8 8 8 9 8 9 89 . . . a C C = + = 0,25 b) Bạn Thọ được khụng dưới 19 điểm khi và chỉ khi trong 10 cõu trả lời ngẫu nhiờn ở cả hai mụn Lớ và Húa bạn Thọ trả lời đỳng ớt nhất 5 cõu. Xỏc suất trả lời đỳng 1 cõu hỏi là 1 4 , trả lời sai là 3 4 . Ta cú: 0,25 Xỏc suất Thọ trả lời đỳng 5 trờn 10 cõu là 5 5 5 10 1 3 4 4 . ; C ổ ử ổ ử ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ Xỏc suất Thọ trả lời đỳng 6 trờn 10 cõu là 6 4 6 10 1 3 4 4 . ; C ổ ử ổ ử ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ Xỏc suất Thọ trả lời đỳng 7 trờn 10 cõu là 7 3 7 10 1 3 4 4 . ; C ổ ử ổ ử ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ Xỏc suất Thọ trả lời đỳng 8 trờn 10 cõu là 8 2 8 10 1 3 4 4 . ; C ổ ử ổ ử ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ Xỏc suất Thọ trả lời đỳng 9 trờn 10 cõu là 9 9 10 1 3 4 4 . ; C ổ ử ỗ ữ ố ứ Xỏc suất Thọ trả lời cả 10 cõu là 10 10 10 1 4 . C ổ ử ỗ ữ ố ứ Cộng cỏc xỏc suất trờn ta suy ra xỏc suất Thọ được khụng dưới 19 điểm là 0,0781. 0,25 5 Vỡ cỏc cạnh bờn của hỡnh chúp bằng nhau nờn hỡnh chiếu của S xuống (ABC) trựng với tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. Vỡ tam giỏc ABC vuụng tại A nờn tõm đường trũn ngoại tiếp của tam giỏc này chớnh là trung điểm H của BC. Do đú ( ). SH ABC ^ 0,25 Áp dụng định lý Pitago vào tam giỏc ABC ta cú 2 2 4 5. BC a a a = + = Áp dụng định lý Pitago vào tam giỏc SHB ta cú 2 2 5 3 2 4 2 . a a SH a = - = Từ đú suy ra 3 1 1 3 1 3 2 3 3 2 2 6 . . . . . SABC ABC a a V SH S a a ổ ử = = = ỗ ữ ố ứ (đvtt). 0,25 Mặt phẳng chứa SI và song song với MH là (SBI). Do đú ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , . d MH SI d MH SBI d H SBI = = Kẻ HO vuụng gúc với BI tại O thỡ O chớnh là điểm đối xứng với trung điểm E của AC qua H. Kẻ HK vuụng gúc với SO tại K. Khi đú ( ). HK SBI ^ 0,25 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng SHO ta cú 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 7 21 7 3 3 . a HK HK HS HO a a a = + = + = ị = Vậy ( ) 21 7 , . a d MH SI HK = = 0,25 A B S H M K I O E C 6 Giả sử ( ) 0 0 ; ; C c suy ra mặt phẳng cần tỡm cú phương trỡnh 1 1 1 . x y z c + + = 0,25 Ta cú 1 1 . . . .| || | OABC V OA OB OC c c = = = . 0,25 Theo giả thiết, ta cú 1 1 | | . c c = Û = ± 0,25 Vậy cú 2 mặt phẳng thỏa món bài toỏn là 1 0 x y z + + - = hoặc 1 0 x y z + - - = . 0,25 7 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trỡnh ( ) 2 14 0 4 4 9 13 6 2 0 9 ; . x y x A x y y - - = = - ỡ ỡ Û ị - - ớ ớ - - = = - ợ ợ 0,25 Gọi A' là điểm đối xứng với A qua I. Khi đú điểm ( ) 8 9 ' ; A - nằm trờn đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. Gọi K là trực tõm của tam giỏc ABC. Khi đú tứ giỏc BKCCA' cú hai cặp cạnh đối diện song song nờn là hỡnh bỡnh hành. Khi đú KA' và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (là M). Vỡ K và M lần lượt nằm trờn AH và AM nờn giả sử ( ) 2 14; , K k k + 13 2 6 ; . m M m - ổ ử ỗ ữ ố ứ Vỡ M là trung điểm của KA' nờn ( ) ( ) 2 14 8 2 12 1 1 13 2 2 9 2 2 4 6 . ; . ; k m K k m m k M + - = ỡ ỡ - = - ỡ ù ù ị ị ớ ớ ớ - = + = ợ ù ù ợ ợ 0,25 Đường thẳng BC đi qua M và nhận AK uuuur làm VTPT nờn 2 8 0 : . BC x y + - = Giả sử ( ) 8 2 ; . B b b - Vỡ I là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC nờn ( ) ( ) 2 2 2 3 4 81 6 2 8 5 20 15 0 1 b IA IB b b b b b = ộ = Û + = + + - Û - + = Û ờ = ở . 0,25 Với 3 b = ta cú ( ) 3 2 ; . B Vỡ C đối xứng với B qua M nờn ( ) 1 6 ; . C Với 1 b = ta cú ( ) 1 6 ; . B Vỡ C đối xứng với B qua M nờn ( ) 3 2 ; . C 0,25 8 Điều kiện: 0 2 x Ê ạ . Bất phương trỡnh đó cho trở thành 14 2 2 5 7 2 ( ) x x x - + > + - 7 2 2 5 2 ( ) . x x x x Û - + > - (1) 0,25 Rừ ràng 0 x = khụng thỏa món bất phương trỡnh (1). Với 0 2 x < ạ bất phương trỡnh (1) tương đương với 2 2 7 5 2 ( ) . x x x x - + > - Đặt 2 x t x - = . Khi đú bất phương trỡnh trở thành 7 2 5 t t + > 2 2 5 7 0 t t t + - Û > 2 7 1 0 ( )( ) t t t Û + - > 1 7 0 2 . t t > ộ ờ Û ờ- < < ở 0,25 * Với 1 t > ta cú 2 1 x x - > , hay 1 2 0 ( )( ) x x x + - > 4 x Û > . 0,25 * Với 7 0 2 t - < < ta cú 7 2 0 2 x x - - < < , hay 0 2 1 2 4 4 2 1 0 . ( )( ) x x x x < < ỡ ù Û < < ớ + - > ù ợ Vậy bất phương trỡnh đó cho cú nghiệm là 1 4 2 4 , . x x > < < 0,25 9 Áp dụng bất đẳng thức Cụsi, ta cú 2 2 2 2 2 2 2 4 5 5 9 4 . ( ) ( ) ( ) ( ) a a a b c bc b c b c b c ³ = + + + + + + Tương tự, ta cú 2 2 2 2 4 5 9 . ( ) ( ) b b c a ca c a ³ + + + Suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 9 9 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b a b b c c a b c bc c a ca b c c a ổ ử ổ ử + ³ + ³ + ỗ ữ ỗ ữ + + + + + + + + ố ứ ố ứ 0,25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 9 4 2 2 4 9 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) a b c a b a b c a b ab c a b c a b c a b c a b c a b a b c a b c ổ ử + + + ỗ ữ ổ ử + + + = ³ ỗ ữ ỗ ữ + + + + ỗ ữ ố ứ + + + ỗ ữ ố ứ ổ ử + + + = ỗ ữ + + + + ố ứ 0,25 Vỡ 1 1 a b c a b c + + = Û + = - nờn 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 3 8 2 3 1 1 1 9 4 9 1 4 1 4 1 4 ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) c c c P c c c c c c c ổ ử - + - ổ ử ³ - - = - - - ỗ ữ ỗ ữ + - + - + ố ứ ố ứ (1) 0,25 Xột hàm số 2 2 8 2 3 1 1 9 1 4 ( ) ( ) f c c c ổ ử = - - - ỗ ữ + ố ứ với 0 1 ( ; ). c ẻ Ta cú 2 16 2 2 3 1 1 9 1 2 1 '( ) . ( ); ( ) f c c c c ổ ử = - - - ỗ ữ + + ố ứ ( ) 3 1 0 1 64 3 3 0 3 '( ) ( ) ( ) . f c c c c = Û - - + = Û = Bảng biến thiờn: Dựa vào bảng biến thiờn ta cú 1 9 ( ) f c ³ - với mọi 0 1 ( ; ). c ẻ (2) Từ (1) và (2) suy ra 1 9 , P ³ - dấu đẳng thức xảy ra khi 1 3 . a b c = = = Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là 1 9 . - 0,25 Cảm ơn thầy Nam Bựi (nambv.c3hungvuong@gmail.com) đó gửi tới www.laisac.page.tl ( ) f c '( ) f c c 1 3 0 + – 0 1 1 9 -
Tài liệu đính kèm: