Đề thi khảo sát HSG lớp 6; 7; 8 vòng I huyện Sông Lô - Năm học 2015 – 2016 môn: Toán 7

PHÒNG GD-ĐT SÔNG LÔ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI KHẢO SÁT HSG LỚP 6; 7; 8
VÒNG I - NĂM HỌC 2015 – 2016
Đề thi môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút
(Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay)
Câu 1 (3,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:
a. ; 
b. 
c. C = 
Câu 2 (2,0 điểm) 
a. Tìm số có 3 chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1:2:3.
b. Tìm các số nguyên a thỏa mãn: (a2 + 1)(a2 - 2)(a2 -5) < 0.
Câu 3 (1,5 điểm) Tìm bộ ba số tự nhiên (a, b, c) sao cho: ; 
Câu 4 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Qua D vẽ đường vuông góc với BC cắt AC tại E;
a. Chứng minh: AE = DE;
b. Đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh C của tam giác ABC cắt đường thẳng BE tại K. Tính số đo góc BAK;
Câu 5. (1,0 điểm) Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ 1 đến 2016, người ta làm như sau: lấy ra hai số bất kì và thay vào bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Hỏi có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 được không? Giải thích?
-------------------- Hết ------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ KHẢO SÁT SINH GIỎI LỚP 7 
VÒNG I - CẤP HUYỆN. NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn : Toán
Thời gian làm bài: 120 phút 
I. HƯỚNG DẪN CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu
Hướng dẫn chấm
Thang điểm
1
a)
Do vậy 
0,5
 0,25
 0,25
b) 
0,25
0,25
0,5
 c) C = 
	 A = 
	A = + = 0	 
 0,5
 0,25
 0,25
2
a) Gọi a, b, c là các chữ số của số có ba chữ số phải tìm.
 Vì và ba chữ số a, b, c không thể đồng thời bằng 0 nên 	
Mặt khác số phải tìm là bội của 18
Nên hoặc 18 hoặc 27	
Theo giả thiết ta có:
Do đó : a + b + c= 18 
Suy ra 	
Vì số phải tìm chia hết cho 18 nên chữ số hàng đơn vị phải là số chẵn
Vậy số phải tìm là 396; 936.	
0,25
0,25
0,25
0,25
b) Ta có a2 +1 > 0 với mọi a
 a2 -5 < a2 -2 
 Mà (a2 + 1)(a2 - 2)(a2 -5) 0
 Hay 2 < a2 < 5.
 Lại có a là nguyên nên a2 = 4 a = 2 hoặc a = -2
0,25
0,5
0,25
3
Giả sử a không nhỏ hơn 3 thì phân số không lớn hơn và hai phân số còn lại sẽ nhỏ hơn , khi đó tổng ba phân số nhỏ hơn 1. 
Bởi vậy a nhỏ hơn 3, nhưng a không thể bằng 1 vì khi đó tổng ba phân số lớn hơn 1;
Vậy a = 2, ta phải tìm hai số b, c sao cho 
Giả sử b không nhỏ hơn 2 thì phân số không lớn hơn còn phân số kia sẽ nhỏ hơn và tổng của chúng sẽ nhỏ hơn . Vậy b = 1
Khi đó . Vậy bộ 3 số (a, b, c) cần tìm là (2; 1; 3)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4
0,25
a)
Xét ABE và DBE có: A = D = 900 (theo GT có 
AB = BD (giả thiết), cạnh BE chung;
Vậy ABE = DBE (cạnh huyền, cạnh góc vuông), suy ra AE = DE
0,5
0,5
b)
Theo phần a ta có ABE = DBE suy ra ABE = DBE, do đó BK là phân giác của góc ABC;
vẽ KN BA, KH AC, KMBC (với );
Xét KMC (vuông tại M) và KHC (vuông tại H) có:
HCK = MCK (giả thiết), cạnh KC chung, do đó KMC = KHC (cạnh huyền, góc nhọn) suy ra KM = KH (1)
Ta có KMB = KNB (cạnh huyền, góc nhọn) nên KM = KN (2)
Từ (1) và (2) suy ra KH = KN;
Tam giác vuông AKH và tam giác vuông AKN có: KH = KN; cạnh AK chung. Suy ra AKH = AKN (cạnh huyền-cạnh góc vuông), 
suy ra NAK =CAK = 450. 
Mà BAK = BAC + CAK = 900 + 450 = 1350. Vậy BAK = 1350
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5
 Gọi S là tổng tất cả các số được ghi trên bảng
Ta có S = 1 + 2 + 3 +  + 2016= là một số chẵn. 
Khi lấy ra hai số a, b và thay vào bằng hiệu của hai số thì tổng S bớt đi 
(a + b) – (a – b) = 2b là số chẵn.
Nên tổng mới phải là một số chẵn. 
Như vậy tổng của tất cả các số trên bảng luôn là một số chẵn do đó trên bảng không thể còn lại số 1.
0,25
0,25
0,25
0,25