Đề thi khảo sát học sinh giỏi năm học: 2015 - 2016 môn thi: Toán 8 thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI 
Năm học: 2015 - 2016
MÔN THI: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử
 a) 
Bài 2:: (1.5điểm) 
Giải phương trình : .
 b) Tính B = 
Bài 3:( 1.5 điểm).
Cho và . Tìm GTNN của biểu thức: P =.
Tìm các số tự nhiên x,y biết: và .
 Bài 4: (2,0 điểm) 
Cho abc = 1. Rút gọn biểu thức: M = 
Cho và Tính GT của BT: K = 
Bài 5: (3,0 điểm)
Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D.
	a. Chứng minh AB2 = 4 AC.BD
	b. Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC = CM
	c. Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH
	d. Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG 
MÔN: TOÁN 8 
Bài
Đáp án
Điểm
Bài 1
(1,5 đ)
a)==== 
0,5
b) =
==
=
0,25
0,25
c)=
= =
===
0,25
0,25
d)= =
=
0,25
0,25
Bài 2
(1,5 đ)
a) Giải phương trình : . Dễ thấy x = 2 hoặc x = 3 là nghiệm của phương trình.
- Với x> 3 ta có:PT vô nghiệm.
- Với x< 2 ta có:PT vô nghiệm.
- Với 2 < x < 3. Ta có: ; 
PTVN.
- Vậy nghiệm của PT là x = 2; x = 3.
0,25
0,25
Tính B = 
. Đặt: K= 
0,25
0,25
0,5
Bài 3
(2,0 đ)
a) (Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương: và )
. 
 (1) (Dấu bằng xãy ra a = b)
(Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương: và )
 (2) (Dấu bằng xãy ra a = b)
Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được:
[
 . (Vì )
- Vậy Pmin= ; Dấu = xãy ra . Kết hợp với ở trên ta có dấu = xãy ra a = b = 2
0,25
0,25
0,25
0,25
Tìm các số tự nhiên x,y biết: và .
Ta có: và 
Từ: . Lại có: 
 ( Vì )
 vậy các số tự nhiên (x; y) cần tìm là ( 25; 32) và phân số đó là: 
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 4
(2,0 đ)
a) Thay abc = 1 vào , nhân cả tử và mẫu của với a ta có:
0,5
0,5
B) Từ a3 + b3 + c3 = 3abc
a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc = 0 ( vì a +b +c 0)
 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac –2bc = 0
 (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0
Vì (a – b)2 0 a, b; (b – c)2 0 b,c; (c – a)2 0 a, c.
 Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 0 a, b,c ;
Do đó (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 a, b,c 
Khi a – b = 0 và b – c = 0 và c – a =0 
a = b = c. Lại có: a + b + c = 3a = b = c = 1
 Vậy: K = 
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 5
(3,0đ)
Hình vẽ:
a) Chứng minh: 
 (đpcm
0,25
0,25
b) Theo câu a ta có: 
Mà 
+) Chứng minh: 
+) Chứng minh: (đpcm)
0,25
0,25 
c)Ta có OC là trung trực của AM
ÞOC ^ AM, 
Mặc khác OA = OM = OB Þ∆AMB vuông tại M
ÞOC // BM (vì cùng vuông góc AM) hay OC // BI
+) Xét ∆ABI có OM đi qua trung điểm AB, song song BI suy ra OM đi qua trung điểm AI Þ IC = AC
+) MH // AI theo hệ quả định lý Ta-lét ta có:
Mà IC = AC Þ MK = HK ÞBC đi qua trung điểm MH (đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
d) Tứ giác ABDC là hình thang vuông
Ta thấy AC, BD > 0, nên theo BĐT Cô-si ta có
Dấu “=” xảy ra Û 
Vậy C thuộc tia Ax và cách điểm A một đoạn bằng OA
0,25
0,25
0,25
0,25