Đề thi khảo sát học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 (Kết nối tri thức và cuộc sống) - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT LẬP THẠCH

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2022 – 2023
MÔN: TOÁN 7
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay để làm bài
Câu 1. (1,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức sau
 a) 
 b) 
.Câu 2. (1,0 điểm)
 a) 
 b) Cho các đa thức: và .
 Hãy tìm nghiệm của đa thức 
Câu 3. (1,0 điểm) Tìm các số biết: và . (Với TH x,y nguyên và thực)
Câu 4. (1,0 điểm) Cho biểu thức . Tìm nguyên để có giá trị nhỏ nhất. 
Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số x, y thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức .
Câu 6. (1,0 điểm) Tìm số nguyên và biết: 
Câu 7. (1,0 điểm) Tìm các số nguyên tố p sao cho là một số nguyên tố.
Câu 8. (2,0 điểm)
	Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng:
	a) và .
	b) Tam giác MHI vuông cân.
===Hết===
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:SBD:. Phòng thi:..

Câu 9. (1,0 điểm)	Cho tam giác ABC cân tại A, có A=100° và I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác ABC. Trên tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC. Đường thẳng BI cắt AC tại E, DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: FB = FD
ĐÁP ÁN THAM KHẢO
PHÒNG GD&ĐT LẬP THẠCH
 TRƯỜNG THCS VĂN QUÁN
ĐÁP ÁN THAM KHẢO ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2022 – 2023
MÔN: TOÁN 7

Câu
Nội dung
Điểm
1
Tính giá trị của biểu thức sau
a) 
b) 

1,0
1.a

0,5



0,25
0,25
1.b

0,5



0,5
2
a) 
b) Cho các đa thức: và.
 Hãy tìm nghiệm của đa thức 
1,0
2.a

0,5


Vậy x = 1
0,25
0,25
2.b
Cho các đa thức: và.
 Hãy tìm nghiệm của đa thức 
0,5

Ta có:
 hoặc 
Vậy đa thức có nghiệm hoặc 



0,25
0,25
3
Tìm các số biết: và . (Với trường hợp x, y nguyên và hữu tỉ)
1,0

Trường hợp x, y là số nguyên
Ta có: 
 mà 
 mà 
Thay ;vào , ta được:
Đặt 
 mà theo đề bài 
 (vô lý)
Vậy không có số x, y nào thỏa mãn đề bài.
Với trường hợp x, y là số hữu tỉ
Theo đề bài ra, ta có:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
Suy ra:
Vậy 
Vậy với trường hợp x, y nguyên thì không có nghiệm thỏa mãn, với trường hợp x, y là số hữu tỉ thì có các cặp thỏa mãn.
0,5
0,5
4
Cho biểu thức . Tìm nguyên để có giá trị nhỏ nhất.
1,0

Ta có: 
Để A đạt giá trị nhỏ nhất thì phải có giá trị lớn nhất suy ra phải đạt giá trị nguyên dương nhỏ nhất.
⟹Trường hợp 1:
 (thỏa mãn)
Thay vào A, 
Vậy A có giá trị nhỏ nhất bằng -4 khi x = 2024

0,25
0,25
0,25
0,25
5
Cho các số x, y thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức .
1,0

Ta có:
Vì 2x-1≥0(y-2)2022≥0 nên để thì 
⇒
Mặt khác: 
Thay và vào B, ta được:
Vậy giá trị của biểu thức B = 9 khi ; 

0,25
0,25
0,25
0,25
6
Tìm số nguyên và biết: 
1,0

Ta có: 
 mà 1 – 2y là số lẻ nên 1 – 2y là ước lẻ của 40.
Ta có bảng sau:
1 – 2y
1
5
-1
-5
2y
0
-4
2
6
y
0
-2
1
3
x
40
8
-40
-8
Vậy các cặp .

0,25
0,25
0,25
0,25
7
Tìm các số nguyên tố p sao cho là một số nguyên tố.
1,0


Nếu (loại)
Nếu (thỏa mãn)
Với mà p là số nguyên tố, suy ra mà là số chính phương nên : 3 dư 1 (1)
Mặt khác: 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
Ta lại có: (3)
 (4)
Từ (3) và (4) suy ra là hợp số.
Mà theo đề bài phải là số nguyên tố nên (loại)
Vậy p = 3 là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn đề bài.

0,25
0,25
0,25
0,25
8
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng:
a) và .
b) Tam giác MHI vuông cân.
2,0
8.a
 và .
0,75
Hình vẽ

0,5
8.a
Xét tam giác ABC vuông góc cân tại A
AB = AC; 
Ta có: AB = AC; BM = MC 
⇒ AM là đường trung trực của BC; AM ⊥ BC
⇒ Tam giác ABM; tam giác ACM vuông tại M có 1 góc là 450
⇒ Tam giác ABM, tam giác ACM là các tam giác vuông cân tại M.
⇒ 
Xét tam giác ABH và tam giác ACI có:
AB = AC (giả thiết); 
⇒ (cùng phụ )
⇒ Tam giác ABH = ACI (G – C – G) 
⇒ BH = AI

0,25
0,25
0,25
8.b
Tam giác MHI vuông cân.
0,75
8.b 
Xét tam giác HAM và tam giác ICM có:
AM = CM (do tam giác AMC vuông cân tại M)
AH = CI (do tam giác ABH = tam giác ACI)
 ( do cùng phụ )
⇒ Tam giác HAM = tam giác ICM (C – G – C)
⇒ HM = IM
⇒ Tam giác MHI cân tại M và có 
⇒ (do )
Mà (cùng phụ)
⇒ 
⇒ 
⇒ Tam giác MHI vuông cân tại M
Vậy tam giác MHI vuông cân.

0,25
0,25
0,25
9
Cho tam giác ABC cân tại A, có A=100° và I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác ABC. Trên tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC. Đường thẳng BI cắt AC tại E, DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: FB = FD
1,0
Hình vẽ

0,5
9
Hiện chưa có đáp án tham khảo, cần sự hướng dẫn của giáo viên bồi dưỡng.

0,5
Chú ý:
- Học sinh làm theo cách khác đúng cho điểm tương đương.
- Đáp án chỉ để tham khảo cần học sinh lập luận chặt chẽ hơn.