Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn: Toán 7. Năm học 2012 - 2013 thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC
TRƯỜNG THCS PHẠM CÔNG BÌNH
ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 7. NĂM HỌC 2012-2013
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. Tìm x biết:
 a) b) 3x +x2 = 0 c) (x-1)(x-3) < 0	
Câu 2. a) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: và 
 b) Cho (a, b, c, d > 0)
Tính A = 
Câu 3. a) Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn x + y + xy =2.
 	 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = (với x nguyên)
Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 
Câu 5. Cho ABC vuông tại A. M là trung điểm BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD. Gọi I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống AD, N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AC.
a) Chứng minh rằng BK = CI và BK//CI.
b) Chứng minh KN < MC.
c) ABC thỏa mãn thêm điều kiện gì để AI = IM = MK = KD.
d) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống BC. Chứng minh rằng các đường thẳng BI, DH, MN đồng quy. 
.Hết.
PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC
TRƯỜNG THCS PHẠM CÔNG BÌNH
HDC ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 7. NĂM HỌC 2012-2013
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 1
(2,25 đ)
a) (0,75đ)
(1+5) = 162 ó = 27 
 => x-1= 3 => x = 4
0,5
0,25
b) (0,75đ)
3x +x2 = 0 ó x(3 + x) = 0
x=0 hoặc x= -3
0,5
0,25
c) (0,75đ)
(x-1)(x-3) x-3 nên 
(x-1)(x-3) < 0 
0,25
0,5
Câu 2
(1,5 đ)
a) (0,75đ)
Từ ta có: 
( Vì x, y, z cùng dấu)
0,25
0,5
b) (0,75 đ)
 Ta có (do a,b,c,d > 0 => a+b+c+d >0)
 suy ra a = b = c= d
Thay vào tính được P = 
0,25
0,25
0,25 
Câu 3
(2,5 đ)
a) (1,0đ)
Ta có x + y + xy =2 ó x + 1 + y(x + 1) = 3
ó (x+1)(y+1)=3
Do x, y nguyên nên x + 1 và y + 1 phải là ước của 3. Lập bảng ta có:
0,25
x+1
1
3
-1
-3
y+1
3
1
-3
-1
x
0
2
-2
-4
y
2
0
-4
-2
Vậy các cặp (x,y) là: (0,2); (2,0); (-2,-4); (-4,-2)
0,25
0,5
b) (1,5 đ)
Q == 2+
A lớn nhất khi lớn nhất
* Xét x > 12 thì < 0
* Xét x 0. Vì phân số có tử và mẫu là các số dương, tử không đổi nên phân số có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. 
nhỏ nhất
Vậy để lớn nhất thì ó x = 11
A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4
(1,0 đ)
 (1,0 đ)
Ta có , => . Dấu "=" xảy ra ó x = 3
, . Dấu "=" xảy ra ó y = -3
Vậy P = 4 + 2007 = 2011. 
Dấu "=" xảy ra ó x = 3 và y = -3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 2011 ó x = 3 và y = -3
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5
(2,75 đ)
a) (0,75 đ)
- Chứng minh IBM = KCM => IM= MK
- Chứng minh IMC = KMB 
 => CI = BK và góc MKB = góc MIC => BK//CI
0,25
0,25
0,25
b) (1,0 đ)
Chỉ ra được AM = MC => AMC cân tại M
=> đường cao MN đồng thời là đường trung tuyến của AMC
=> N là trung điểm AC
AKC vuông tại K có KN là trung tuyến => KN = AC
Mặt khác MC = BC
Lại có ABC vuông tại A => BC > AC => BC > AC hay MC > KN
Vậy MC > KN (ĐPCM)
0,25
0,25
0,25
0,25
c) (0,5 đ)
Theo CM ý a IM = MK mà AM = MD (gt)
 => AI = KD
Vậy để AI = IM = MK = KD thì cần AI = IM
Mặt khác BIAM => khi đó BI vừa là trung tuyến, vừa là đường cao ABM
=> ABM cân tại B (1)
Mà ABC vuông tại A, trung tuyến AM nên ta cóABM cân tại M (2)
Từ (1) và (2) ruy ra ABM đều => góc ABM = 600
Vậy vuông ABC cần thêm điều kiện góc ABM = 600
0,25
0,25
d) (0,5 đ)
Xảy ra 2 trường hợp: 
Trường hợp 1: Nếu I thuộc đoạn AM => H thuộc đoạn MC
=> BI và DH cắt tia MN.
Gọi O là giao điểm của BI và tia MN, O’ là giao điểm của DH và tia MN
Dễ dàng chứng minh AIO = MHO’ => MO = MO’ => O O’
Suy ra BI, DH, MN đồng quy.
Trường hợp 2: Nếu I thuộc đoạn MD => H thuộc đoạn MB
=> BI và BH cắt tia đối của tia MN. Chứng minh tương tự trường hợp 1
Vậy BI, DH, MN đồng quy.
(Học sinh có thể sử dụng các cách khác để CM: VD sử dụng tính chất đồng quy của 3 đường cao...)
0,25
0,25
Lưu ý:
 - Lời giải chỉ trình bày tóm tắt, học sinh trình bày hoàn chỉnh, lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa.
 - Học sinh có thể trình bày nhiều cách giải khác nhau nếu đúng thì cho điểm tương ứng.