Đề thi khảo sát chất lượng đại học lần thứ II môn Toán Học Khối B- D- T - Trường THPT Thanh Thủy

www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 
SỞ GD VÀ ĐT PHÚ THỌ 
TRƯỜNG THPT THANH THUỶ 
www.MATHVN.com 
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẠI HỌC LẦN II NĂM 2012 
Môn: Toán – Khối B- D-T 
( Thêi gian 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò ) 
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số : y = 1
1
x
x
+
−
 (C) 
 1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2.Tìm tất cả các điểm M ∈(C) để tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. 
Câu II ( 2,0 điểm) 
1. Giải phương trình: 
3 3cos sin 2cos 2
cos sin
x x
x
x x
−
=
+
2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: 
3 2
4 3 2 2
1 0
1
x y x xy
x x y x y
 − + + =

− + =
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ( )
2
3
0
2sin cos
sin cos
x x dx
x x
pi
−
+
∫ 
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = 1, CC’ = m (m > 0). Tìm m biết 
rằng góc giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ bằng 600, khi đó hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ 
và CC’ 
Câu V (1,0 điểm) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 
 ( )2 210 8 4 2 1 1x x m x x+ + = + + 
II.PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm)Thí sinh chỉ được là một trong hai phần(phần A hoặc phần B) 
A.Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a (2,0 điểm) 
 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, Cho đường tròn (C): x2 + y2 -2x – 2my + m2 – 24 = 0 có tâm I và đường thẳng 
(d): mx + 4y = 0. Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB 
bằng 12. 
 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng có phương trình : 
 (d1): 2 11 1 2
x y z− −
= =
−
 ; (d2):
2
3
x t
y
z t
= −

=

=
.Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc 
chung của (d1) và (d2). 
Câu VII.a (1,0 điểm) Giải phương trình: ( )2 23log 2 9log 2x x x− > − 
B.Theo chương trình nâng cao. 
Câu VI.b (2,0 điểm) 
 1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, Cho tam giác ABC có A(4; 6) , Phương trình đường cao CH và trung 
tuyến CK lần lượt là: 2x – y + 13 = 0 và 6x – 13y + 29 = 0. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam 
giác ABC. 
 2. Trong không gian Oxyz, cho hình vuông ABCD có A(5; 3; -1), C(2; 3; -4). Tìm toạ độ đỉnh D biết rằng 
đỉnh B nằm trên mặt phẳng (P): x + y - z – 6 = 0. 
Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm phần thực của số phức z = (1 + 3 i)n ,biết n ∈N thoả mãn : 
( ) ( )2 2log 9 log 6 4n n− + + = 
 -----------------HÕt-------------------- 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 
ĐÁP ÁN ĐỀ KSCL ĐH KHỐI B – D - T NĂM 2012 
Câu Nội dung Điểm 
 I 
1.(1,0 điểm) Cho hàm số : y = 1
1
x
x
+
−
 (C) 
(2,0 điểm) * TXĐ: D = R\{ 1} 
* Sự biến thiên: 
- Giới hạn và tiệm cận: lim lim 1
x x
y y
→+∞ →−∞
= = ; tiệm cận ngang: y = 1 
1 1
lim ; lim
x x
y y
− +→ →
= −∞ = +∞ ; tiệm cận đứng: x = 1 
0,25 
 - Bảng biến thiên: 
Ta có: 2
2
' 0( 1)y x
−
= <
−
 với mọi x ≠ 1 
x -∞ 1 +∞ 
y’ - - 
y 1 + ∞ 
 -∞ 1 
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞ ; 1) và ( 1; +∞ ) 
0,5 
* Đồ thị 
8
6
4
2
2
4
6
8
15 10 5 5 10 15
0,25 
 2. (1,0 điểm) Tìm tất cả các điểm M ∈(C) để tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm 
cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. 
G/s: M(x0; y0) 
- Viết PTTT tại M, cắt tiệm cận tại A, B. E là giao của hai tiệm cận 
4EABS∆ = ;AB
2 = EA2 + EB2 ≥2EA.EB=16 nên AB ≥4; 
0,5 
0,5 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 
EA+EB 2 . 4 2EA EB≥ = 
Vậy chu vi nhỏ nhất khi EA = EB 0 01 2 ?x y⇔ = ± ⇒ = 
II 1.(1,0 điểm) Giải phương trình: 
3 3cos sin 2cos 2
cos sin
x x
x
x x
−
=
+
(2,0 điểm) 
Đk: cosx≥0, sinx≥0 
Phương trình có dạng: 
( ) ( ) ( ) ( )cos sin 1 sin cos 2 cos sin cos sin
cos sin
x x x x
x x x x
x x
− +
= − +
+
TH1: cosx – sinx = 0 suy ra: x = 
4
kpi pi+ 
Th2: ( )1 sin cos 2 cos sin ( cos sin )(*)x x x x x x+ = + + 
VP(*) 2 2 2 22(sin cos )(sin cos ) 2x x x x≥ + + = ; VT(*) 1 1 2≤ + = , dấu bằng 
không xảy ra⇒ vô nghiệm. 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 
3 2
4 3 2 2
1 0
1
x y x xy
x x y x y
 − + + =

− + =
Đưa hệ về dạng: ( )
3
2 3
( ) 1
1
x y x y x
x y x x y
 + − = −

− + =  
; Đặt u = x3y, v = x(y – x) 
Giải hệ được 0 1
1 0
u x
v y
= = ± 
⇒ 
= − = 
3
2
u
v
= −

=
 (vô nghiệm) 
Vậy hệ phương trình có nghiệm: 1
0
x
y
= ±

=
0,25 
0,5 
0,25 
III 
Tính tích phân: I = ( )
2
3
0
2sin cos
sin cos
x x dx
x x
pi
−
+
∫ 
(1,0 điểm) Đặt: x = 
2
pi
 – t, đổi cận: x = 0 thì t = 
2
pi
 Kh x = 
2
pi
 thì t = 0 
 dx = -dt 
⇒ I = ( ) ( )
2 2
3 3
0 0
2cos sin 2cos sin
sin cos sin cos
t t x xdt dx
t t x x
pi pi
− −
=
+ +
∫ ∫ 
⇒2I= ( )
2 2
3
20 0
sin cos 1
tan 12
2 4sin cos 2cos 0
4
x x dxdx x
x x x
pi pi
pi
pi
pi
+  
= = − = 
   +
− 
 
∫ ∫ vậy I = 1/2 
0,25 
0,75 
IV Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = 1, CC’ = m (m > 0). Tìm m 
biết rằng góc giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ bằng 600, khi đó hãy tính khoảng 
cách giữa hai đường thẳng AB’ và CC’ 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 
(1,0 điểm) -Kẻ BD//AB’nên: 
(AB’,BC’) = (BD, BC’) = 600 

 
0 0
' 60 or ' 120DBC DBC⇒ = = 
*Nếu: 
 0' 60DBC = , vì lăng trụ đều 
nên ( )' ' ' 'BB A B C⊥ . ADĐL cosin 
và định lý pitago ta có: 
2
' 1; ' 3BD BC m DC= = + = 
Kết hợp với 
 0' 60DBC = ta suy ra 
'DBC∆ đều do đó: m2 +1 = 3 
2m⇒ = (tm) 
Với 
 0' 120DBC = được m = 0(loại) 
*d(AB’,CC’)=d(CC’,(ABB’A’)) 
=d(C,(ABB’A’)= 3
2
C'
A'
B
A
C
B'
D
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 
 ( )2 210 8 4 2 1 1x x m x x+ + = + + 
 V 
(1,0 điểm) 
Phương trình tương đương với: 
2
2 2
2 1 2 12 2 0
1 1
x x
m
x x
   + +
− + =   
+ +   
; Đặt t = 
2
2 1
1
x
x
 +
 
+ 
, 2 5t− < ≤ 
Rút m = 
22 2t
t
+
 lập bẳng biến thiên ta được: 124 ; 5 4
5
m m< ≤ − < < − 
0,5 
0,5 
VI. a 
(1,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, Cho đường tròn (C): x2 + y2 -
2x – 2my + m2 – 24 = 0 có tâm I và đường thẳng (d): mx + 4y = 0. 
Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao 
cho diện tích tam giác IAB bằng 12. 
 Đường tròn (C) có tâm I(1; m), BK :R = 5. Gọi H là trung điểm của 
dây cung AB nên IH là đường cao của tam giác IAB. 
Ta có IH = d(I, d) = 
2
5
16
m
m +
; AH = 
2
20
16m +
SIAB = 12 nên SIAH = 6 nên d(I, d).AH = 12. 
Giải được: 163;
3
m m= ± = ± 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng có phương trình : 
 (d1): 2 11 1 2
x y z− −
= =
−
 ; (d2):
2
3
x t
y
z t
= −

=

=
.Viết phương trình mặt cầu có 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 
đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2). 
 G/s đoạn vuông góc trung là AB với A thuộc d1; B thuộc d2 
Dễ tìm được A ( )5 4 2; ; ; 2;3;0
3 3 3
B − 
 
Vậy phương trình mặt cầu là: 
2 2 211 13 1 5
6 6 3 6
x y z     − + − + + =     
     
0,5 
0,5 
VII. a Giải phương trình: ( )2 23log 2 9log 2x x x− > − 
(1,0 điểm) Đk: x > 0 
( ) ( )23 3 log 2 1BPT x x x⇔ − > − (1) (x =3 không là nghiệm) 
TH1: x > 3 BPT(1) 23 1log2 3
x
x
x
−
⇔ >
−
(2) 
 Với x > 4 ta có: VT(2) > 3 > VP(2) (đúng) 
 Với 3 3 (vô nghiệm) 
TH2: 0 < x < 3, tương tự ta có 0 < x < 1 
Vậy bất phương trình có hai nghiệm x > 4; 0 < x < 1 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
VI. b 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, Cho tam giác ABC có A(4; 6) , 
Phương trình đường cao CH và trung tuyến CK lần lượt là: 2x – y 
+ 13 = 0 và 6x – 13y + 29 = 0. Viết phương trình đường tròn ngoại 
tiếp tam giác ABC. 
(1,0 điểm) Tìm được B(8; 4); C(-7; -1) 
Giả sử pt đường tròn là: x2 + y2 + ax + by + c = 0 
Thay tọa độ của A, B, C ta được hệ phương trình : 
52 4 6 0
80 8 4 0
50 7 0
a b c
a b c
a b c
+ + + =

+ + + =

− − + =
 giải được: a = -4; b = 6; c = -72 
Vậy phương trình đường tròn là: 
x
2
 + y2 – 4x + 6y – 72 =0 hay (x -2 )2 + (y + 3)2 = 85 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
 2. Trong không gian Oxyz, cho hình vuông ABCD có A(5; 3; -1), C(2; 3; -4). Tìm 
toạ độ đỉnh D biết rằng đỉnh B nằm trên mặt phẳng (P): x + y - z – 6 = 0. 
(1,0 điểm) 0 0 0 0 0 0/ ( ; ; ), ( ) 6 0(1)G s B x y z do B P x y z∈ ⇒ + − − = 
ABCD là hình vuông nên: ABC∆ vuông cân tại B 
. 0
AB BC
AB BC
=
⇔ 
=
 
( ) ( ) ( ) ( )( )
0 0
2
0 0 0 0 0
1 0(2)
5 2 3 1 4 0(3)
x z
x x y z z
+ − =
⇔ 
− − + − + + + =
Từ (1), (2) và (3) ta có: N(2; 3; -1); N(3; 1; -2) 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
VII. b Tìm phần thực của số phức z = (1 + 3 i)n ,biết n ∈N thoả mãn : 
( ) ( )2 2log 9 log 6 4n n− + + = 
www.MATHVN.com 
www.mathvn.com 
(1,0 điểm) Giải pt: ( ) ( )2 2log 9 log 6 4n n− + + = ta được n = 10 
Đưa z về dạng: z = 
10
10 10 910 102 cos sin 2 cos sin 2
3 3 3 3
i ipi pi pi pi   + = + = −   
   
0,5 
0,5 
Hết