Đề thi HSG Toán 6 có đáp án

đề THI HSG toán 6
thời gian:120’
Đề bài:
Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức
Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a) là một phân số tối giản.
Câu 2: (1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho và 
Câu 3:a. (1 điểm) Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương
	b. (1 điểm) Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số.
Câu 4: (2 điểm) a. Cho a, b, n ẻ N* Hãy so sánh và 
b. Cho A = ; B = . So sánh A và B.
Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a1, a2, ....., a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10.
Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng.
đáp án đề THI HSG toán 6
thời gian:120’
Câu 1: 
Ta có: = 
Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm).
Rút gọn đúng cho 0,75 điểm.
b.Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 ( 0,25 điểm).
Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ
Mặt khác, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] d
Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. ( 0, 5 điểm)
Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm)
Câu 2: 
	= 100a + 10 b + c = n2-1	(1)
 = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4	(2) (0,25 điểm)
Từ (1) và (2) ị 99(a-c) = 4 n – 5 ị 4n – 5 99 (3) (0,25 điểm)
Mặt khác: 100 [ n2-1 [ 999 Û 101 [ n2 [ 1000 Û 11 [n[31 Û 39 [4n – 5 [ 119 (4) ( 0, 25 điẻm)
 Từ (3) và (4) ị 4n – 5 = 99 ị n = 26
Vậy: = 675 ( 0 , 25 điểm)
Câu 3: (2 điểm)
a) Giả sử n2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( aẻ Z) Û a2 – n2 = 2006Û (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm).
+ Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm).
+ Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n)2 và (a+n) 2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) (0,25 điểm).
Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,25 điểm).
b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3.
Vậy n2 + 2006 là hợp số. ( 1 điểm).
Bài 4: Mỗi câu đúng cho 1 điểm 
Ta xét 3 trường hợp 	 	 (0,5 điểm).
TH1: 	 Û a=b thì thì = =1. (0 , vì ,5 điểm).
TH1: 	 Û a>b Û a+m > b+n. 
Mà có phần thừa so với 1 là 
	 có phần thừa so với 1 là , vì < nên < (0,25 điểm).
TH3: <1 Û a<b Û a+n < b+n.
Khi đó có phần bù tới 1 là , vì (0,25 điểm).
 b) Cho A = ; 
rõ ràng A ị A< 	(0,5 điểm).
Do đó A< = 	(0,5 điểm).
Vây A<B.
Bài 5: Lập dãy số .
Đặt B1 = a1.
	 B2 = a1 + a2 .
	B3 = a1 + a2 + a3 
	...................................
	B10 = a1 + a2 + ... + a10 .
Nếu tồn tại Bi ( i= 1,2,3...10). nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh. 	( 0,25 điểm).
Nếu không tồn tại Bi nào chia hết cho 10 ta làm như sau: 
Ta đen Bi chia cho 10 sẽ được 10 số dư ( các số dư ẻ { 1,2.3...9}). Theo nguyên tắc Di-ric- lê, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số Bm -Bn, chia hết cho 10 ( m>n) ị ĐPCM.
Câu 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng ị có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần ị số giao điểm thực tế là:
(2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm.