Đề thi hsg cấp huyện môn Toán 7 - Năm học 2021-2022

PHÒNG GD&ĐT 
ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN 7
NĂM HỌC 2021-2022
(Thời gian: 120 phút không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI
Câu 1.(4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức sau: 
 b) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: và .
Câu 2. (4,0 điểm) 
 a)Cho các số x, y thỏa mãn (x - 2)4 + (2y - 1)2018 . 
 Tính giá trị của biểu thức M = 11x2y + 4xy2.
 b) Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn dãy tỉ số bằng nhau:
 Tính giá trị của biểu thức: 
Câu 3. (2,0 điểm) Cho đa thức bậc hai: (x là ẩn; a, b, c là hệ số). 
Biết rằng: , , . Tính . 
Câu 4. (4,0 điểm) a)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = (với x là số nguyên).
 b)Tìm các số nguyên dương a, b, c thoả mãn a3+ 3a2 +5 = 5b và a + 3 = 5c
Câu 5. (3,0 điểm) Cho góc xOy bằng 600. Tia Oz là phân giác của góc xOy. Từ điểm B bất kì trên tia Ox kẻ BH, BK lần lượt vuông góc với Oy, Oz tại H và K. Qua B kẻ đường song song với Oy cắt Oz tại M. Chứng minh rằng BH=MK.
Câu 6. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M nằm bên trong tam giác sao cho MA=2cm, MB=3cm và. Tính MC. 
Câu 7. (1,0 điểm) Cho ba số a, b, c thõa mãn: và a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của c.
-------------HẾT------------
PHÒNG GD&ĐT 
 HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN: TOÁN 7.NĂM HỌC 2021-2022
Câu
Nội dung
Điểm
1a
= 
 ==
 = = = 
0,5
0,5
0,5
0,5
1b
Từ ta suy ra: 
Suy ra: ( Vì x, y, z cùng dấu)
KL: Có hai bộ (x; y; z) thỏa mãn là : (6; 8 ;10) và (-6; -8;-10)
0,5
0,5
0,5
0,5
 2a
Vì (x - 2)4 0; (2y – 1) 2018 0 với mọi x, y nên
(x - 2)4 + (2y – 1) 2014 0 với mọi x, y. 
Mà theo đề bài : (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 0
Suy ra (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 = 0 
Hay: (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2018 = 0 
suy ra x = 2, y = 
Khi đó tính được: M = 24.
0,25
0,25
 0,25
0,25
0,25
0,25
 0,5
2b
Từ: 
 Suy ra : 
 (*)
Nếu a + b + c + d = 0 a + b = -(c+d) ; (b + c) = -(a + d) 
 = -4
Nếu a + b + c + d 0 thì từ (*) a = b = c = d 
 = 4
KL: ......
0,25
0,5
 0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3
Xét x =0: 
Xét x =1: (1)
Xét x =-1: (2)
Cộng vế (1) và (2) suy ra a=0 
Thay a=0 vào (1) tìm được: b=1
Từ đó tìm được 
Suy ra: 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
4a
Ta có: Q == 2+. 
Suy ra Q lớn nhất khi lớn nhất
* Nếu x > 12 thì .
* Nếu x < 12 thì . 
Từ 2 trường hợp trên suy ra lớn nhất khi 12-x>0
Vì phân số có tử và mẫu là các số nguyên dương, tử không đổi nên phân số có giá trị lớn nhất khi mẫu là số nguyên dương nhỏ nhất. 
Hay 
Suy ra A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11
0,25
0,25
0,25
0,25
 0,25
 0,25
0,25
0,25
4b
Do a Î Z+ 5b = a3 + 3a2 + 5 > a + 3 = 5c
Vậy 5b > 5c b>c 5b 5c
Hay (a3 + 3a2 + 5) (a+3) a2 (a+3) + 5 a + 3
Mà a2 (a+3) a + 3 5 a + 3 a + 3 Î Ư (5)
Hay: a+ 3 Î { ± 1 ; ± 5 } (1)
Do a Î Z+ a + 3 ³ 4 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a + 3 = 5 a =2
Từ đó tính được: 5b =23 + 3.22 + 5 = 25 = 52 b = 2
 Và 5c =a + 3 = 2+3= 5 c = 1
Vậy: 	a = 2; b = 2; c = 1	
0,25
0,25
 0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5
- Chứng minh tam giác BOM cân tại B vì 
- BK là đường cao của tam giác cân BMO nên K là trung điểm của OM =>KM=KO(1)
- Chứng minh 
- Suy ra BH=OK (2)
- Từ (1) và (2) suy ra BH=MK. đpcm
 0,75
 0,75
 0,75
 0,75
6
- Dựng tam giác ADM vuông cân tại A
 (D, B khác phía đối với AM)
- Chứng minh vì:AD=AM ( vuông cân tại A)
 (cùng phụ với )
 AB=AC (giả thiết)
- Suy ra: CD=BM=3cm
- Tính được MD2=AD2+AM2 = 8
- Chỉ ra tam giác DMC vuông tại M
- Suy ra: MC2 = CD2-MD2 =9-8=1=>CD=1cm
0,25
 0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
7
Vì: nên 0 
(vì a + b + c = 1)
Hay 3c .
Vậy giá trị nhỏ nhất của c là: - khi đó a + b = 
0,25
0,25
0,25
0,25