Đề thi học sinh giỏi trường năm học 2014-2015 môn thi: Toán 6

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015
MễN THI: TOÁN 6.
(Thời gian làm bài 120 phỳt)
Bài 1:(5 điểm)
 1. Tìm số tự nhiên a, b sao cho : 
 2. Tìm tổng sau: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ 2014.2015
Bài 2:(5 điểm) 
 1. Tìm x, biết: 
 2. Chứng minh rằng: 
 không chia hết cho 10
Bài 3: ( 3 điểm) 
 Chứng minh rằng hai số 2n + 1 và 6n + 5 nguyên tố cùng nhau ( n)
Bài 4:( 3 điểm) 
 Tìm các số tự nhiên n có hai chữ số, biết rằng hai số 2n + 1 và 3n + 1 đồng thời là hai số chính phương.
Bài 5: (2 điểm)Chứng minh rằng:
 >
Bài 6: (2 điểm)
 Cho các tia OB, OC nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA. Gọi OM là tia phân giác của góc BOC. Tính góc AOM, biết rằng . 
Hướng dẫn chấm 
Câu
Nội dung
1
1. Ta có: 
Xét các trường hơp của a + b và có a= 3, b = 4 thoả mãn
2. ta có 3A = 3.( 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ 2014.2015)
= 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 +...+ 2008.2009.3
= 1.2.3 + 2.3.(4 -1) + 3.4.(5 - 2) +...+ 2014.2015.(2016- 2013)
Khai triển rồi dùng khử liên tiếp, ta được: 3A = 2014.2015.2016
Suy ra A = 2014.2015.2016:3 = 2014.2015.672=...
2
1. Ta có: 
2.( 
Suy ra: 
Sử dụng phương pháp khử liên tiếp ta được
 x =305
2. ta thấy có tận cùng là 5
 2405 = 2404.2 có chữ số tận cùng là 2
Mà m2 không có chữ số tận cùng là 3( Vì m2 là số chính phương)
Suy ra không chia hết cho 10
3
Giả sử d = ƯCLN( 2n + 1, 6n + 5)
 Do đó d = 1 hoặc d = 2
Vì 2n + 1 là số lẻ nên 2n + 1 không chia hết cho 2
Vậy d = 1
Suy ra 2n + 1 và 6n +5 nguyên tố cùng nhau 
4
Ta có nên 
Mặt khác 2n +1 là số chính phương lẻ , do vậy 2n + 1 chỉ có thể là 25; 49; 81; 121; 169. từ đó n chỉ có thể nhận các giá trị tương ứng 12; 24; 40; 60; 84
3n + 1 chỉ có thể nhận các giá trị 37; 73; 121; 181; 253.
Trong các số này chỉ có 121 = 112 là số chính phương.
Từ đó 3n + 1= 121 Suy ra n = 40
5
6
Ta có Suy ra 
Lần lượt tính