Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7 - Trường trung học cơ sở Phương Trung

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7
Trường trung học cơ sở Phương Trung
Năm học 2015 – 2016
Bài 1: (6 điểm)
 Cho A = |3x + 1| – x – 2
 a, Rút gọn A
 b, Tính A biết: |x| =2
 c, Tìm x để A = 5
 d, Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 2: (4 điểm)
 Cho Chứng minh rằng:
 a, 
 b, (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Bài 3: (4 điểm)
 a, Tìm biết 
 b, Tìm để đạt giá trị lớn nhất
 c, Tìm nghiệm của đa thức x2 – 5x – 6 
Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABD vuông cân tại B và ACE vuông cân tại E. Trên tia đối của tia AH lấy điểm K sao cho AK = BC. Chứng minh rằng:
 a, ∆ DBC = ∆ BAK
 b, DC KB
 c, CD, KH, EB đồng quy tại 1 điểm
Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì là số vô tỉ
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM TOÁN 7
Câu
Đáp án
Điểm
1
a, Khi thì A = 3x + 1 – x – 2 = 2x – 1 
0.5
Khi thì A = -3x – 1 – x – 2 = -4x – 3 
0.5
Vậy A = 2x – 1 khi hoặc A = -4x – 3 khi 
1
b, |x| = 2 => x = ±2
Khi x = 2 > thì A = 2x – 1 = 2.2 – 1 = 3
0.5
Khi x = -2 < thì A = -4.(-2) – 3 = 5
0.5
Vậy khi |x| = 2 thì A = 3 hoặc A = 5
0.5
c, Khi => 2x – 1 = 5 => x = 3 (thoả mãn)
0.5
Khi => -4x – 3 = 5 => x = -2 (thoả mãn)
0.5
d, Khi => A ≥ => A ≥ 
Khi => A > => A > 
=> A ≥ với mọi x 
1
 Vậy MinA = ó 
0.5
2
a, Từ => => và 
Ta có 
1
Vậy 
1
b, Từ => => và 
Ta có: 
1
Từ => (ĐPCM)
1
3
a, Ta có: ( )
Biến đổi đưa về dạng: (2x – 3).(2y – 3) = 9
1
Lập bảng tìm được (x; y) {(-3; 1); (1; -3); (2; 6); (3; 3); (6; 2)}
0.5
b, ()
D đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị lớn nhất
Khi x x – 3 < 0 
0.5
Khi x > 3 => x – 3 > 0 => > 0
Ta xét khi > 0 thì đạt giá trị lớn nhất ó x – 3 = 1 ó x = 4
Khi đó D = 0
0.5
Vậy MaxD = 0 ó x = 4
0.5
c, Ta có: x2 – 5x – 6 = x2 + x – 6x – 6 = (x + 1).(x – 6) = 0
0.5
 Suy ra x = -1 hoặc x = 6
0.5
4
 K
 A E 
 D
 B H C
0.5
a, Ta có: (t/c góc ngoài của ∆ ABH)
Mặt khác, ta có: 
1
Từ đó 
Do vậy ∆DBC = ∆BAK (c.g.c) (1)
0,5
b, Từ (1) => (2 góc tương ứng). Mà (vì ∆KBH vuông tại B) => 
1
Do đó nếu gọi I là giao điểm của CD và BK thì ∆BIC vuông tại I => CD KB (đpcm)
1
c, Chứng minh tương tự câu b, ta cũng có BE KC
0.5
Xét ∆KBC có KH, BE, CD là ba đường cao do đó chúng đồng quy tại một điểm (đpcm)
0.5
5
Giả sử a là số hữu tỉ => với và (m, n) =1
Do a không là số chính phương nên không là số tự nhiên
n> 1. Do đó n có ước nguyên tố là p
0.5
Từ => m2 = a.n2 => m2 p => m p
Vậy (m, n) = p trái với giả thiết (m, n) = 1
Vậy là số vô tỉ (đpcm)
0.5
Phương Trung, ngày 12 tháng 1 năm 2016
Xác nhận của tổ KHTN	 Người ra đề
 Hoàng Thị Hạnh
Xác nhận của Ban giám hiệu