Đề thi học sinh giỏi : Toán 8 - Thời gian: 90 phút

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI : TOÁN 8 - 5
Thời gian: 90’
I. Đề bài:
Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
x2 - (a+b) xy + aby2
a2- b2 – 2a + 1
a3 – 19a + 30
Bài tập 2:
 a) Tìm a,b,c sao cho đa thức x4 + a x2 + bx + c chia hết cho đa thức ( x-3)3
 b) cho a + b + c = 2012
 Chứng minh rằng : = 2012
Bài tập3:
 a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giả trị của biến
 P = 
 b) Cho Q = 
 Chứng minh rằng Q là số nguyên; biết rằng xyz = 1
Bài tập 4: Cho hình vuông ABCD.Lấy điểm M tuỳ ý trên BD.Từ M kẻ ME AB; MF AD.Chứng minh
a) CF = DE; CFDE
b) CM = FE ; CM FE
c) CM,BF,DE đồng qui.
III.Đáp án:
Bài tập
Đáp án
 điểm
Bài 1 (2,5điểm)
a) = x2 – a xy – bxy – aby2
 = x(x-by) – ay( x-by)
 = ( x- ay)(x – by)
b) = (a2 – 2a + 1) – b2
 = ( a – 1)2 – b2
 = ( a -1- b)( a – 1 + b)
c)= a3-4a -15a -30
 = a(a2-4)-(15a-30)
= a(a-2)(a+2)-15(a-2)
= (a-2) (a2-2a-15)
= (a-2)( a2+3a-5a-15a)
= (a-2)(a+3)(a-5)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 2
(1,5điểm)
a) = x4+a x2+bx+c=(x-3)3(x+d)
 = (x3-9x2+27x-27)(x+d)
 = x4+(d-9)x2+(27-9d)x2+(27d-27)x-27d
cân bằng hệ số ta có
 d-9=0 d=9
 -27d = cc=-243
 27d-27=bb=216
 27-9d=a a=-54
Vậy a=-54;b=216;c=-243;d=9 thì x4+a x2+bx+c chia hết cho (x-3)3
b)Ta có a3+b3=(a+b)3-3a2b-3ab2
 a3+b3+c3-3abc = (a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc
 = (a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
= (a+b+c)(a2+b2+c2+2ab –ac-bc)-3ab(a+b+c)
= (a+b+c)( a2+b2+c2-ab –ac-bc)
Vậy 
=
= a+b+c = 2013
025đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
Bài 3 (2điểm)
 a) P= 
 b) Q = 
 = 2013()
 = 2013() = 2013
0,75đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
Bài 4 
(4 điểm)
G
a) AEMF là hình chữ nhật AF=EM
EBM cân tại E vì = 450 EB =EM
 AF= EB mà AB = AD AE=FD
ADE =DCF (c,g,c) FC=DE và =
mà + =900 + =900
=900 CFDE
b) MEF =GMC(c.g.c) CM = FE và =
ta lại có =(so le trong)
mà ++=900++=900
=900 CM FE
c)Xét EFC có EI,CK là đường cao nên FB là đường cao thứ 3 n ên CM,BF,DE đồng qui.
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ