Đề thi học sinh giỏi toán 6 trường thcs Nhân Sơn năm học 2015 - 2016 - Thời gian 120 phút

ĐỀ THI HSG TOÁN 6 TRƯỜNG THCS NHÂN SƠN NĂM HỌC 2015-2016
Thời gian 120 phút
Câu 1( 1 điểm). 
a) Tính giá trị các biểu thức sau: A = 3 + 32 + 33 + 34 +3100
b) Tính giá trị biểu thức B = x2 + 2xy2 – 3xy -2 tại x = 2 và = 3
Câu 2 (2 điểm). 
a) Cho a; b và ( 11a + 2b) 12. Chứng minh ( a + 34b) 12
b) Tìm các số tự nhiên x; y biết: (x - 3)( y + 1) = 7
c) Khi chia số tự nhiên a cho các số: 5; 7; 11 thì được số dư lần lượt là 3; 4; 6. Tìm số a biết 100 < a < 200
Câu 3 ( 2 điểm)
	1. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho chia hết cho 36 .	
2. Cho 
a) Chứng minh x 0
b) Tìm x Z thỏa mãn đẳng thức trên
Câu 4 ( 2 điểm) a) Tìm n nguyên để (n2 – n – 1) n – 1 
 b) Tìm ƯCLN(2n + 1; 3n +1)
 Câu 5. (2,0 điểm): Trên tia Ox, vẽ hai điểm A và B sao cho OA = 2cm, OB = 4cm
a) Trong ba điểm O, A, B điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao?
b) Tính độ dài đoạn thẳng AB.
c) Điểm A có phải là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao?
d) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = 2BA. Chứng tỏ rằng B là trung điểm của đoạn thẳng OD
Câu 5 : ( 1,0 điểm )
Cho biểu thức Chứng minh rằng: 
.Hết.
ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 1
(1,0 đ)
a) (0,5 đ)
 A = 3 + 32 + 33 + 34 +3100
=> 3A = 32 + 33 + 34 +3100 + 3101
=> 3A – A = 3101 – 3
=> A = 
0,5
b) B = x2 + 2xy2 – 3xy -2 tại x = 2 và = 3
vì = 3 => y = 3
 B = 20 tại x = 2; y = 3; B = 56 tại x = 2; y = -3 
0,5
Câu 2
(2đ)
a) Cho a; b và ( 11a + 2b) 12. Chứng minh ( a + 34b) 12
Từ 12a + 36b 12 => ( 11a + 2b) + ( a + 34b) 12
 Mà ( 11a + 2b) 12 => ( a + 34b) 12 
0,5
0,5
b) Tìm các số tự nhiên x; y biết: (x - 3)( y + 1) = 7
Vì (x - 3)( y + 1) = 7 mà 7 = 1.7 = 7.1 = (-1).(-7)=(-7)(-1)ta có
* * 
* * 
Vì x; y là số tự nhiên nên các cặp (x;y) = ( 4;6); (10;0)
c) Khi chia số tự nhiên a cho các số: 5; 7; 11 thì được số dư lần lượt là 3; 4; 6. Tìm số a biết 100 < a < 200
Vì khi chia a cho 5,7,11 có số dư lần lượt là 3,4,6
=> a = 5k + 3 ; a=7q + 4 ; a=11p + 6 
 => 2a - 1 BC (5; 7; 11)
Tìm được a = 193
0,5
0,5
Câu 3
(2,0 đ)
Ta có 36 = 9.4. Mà ƯC(4,9) =1
Vậy để chia hết cho 36 thì chia hết cho 4 và 9
 chia hết cho 9 khi 3 + 4 + x + 5 + y9 => 12 + x + y9 (1)
 chia hết cho 4 khi 4 => y = 2 hoặc y = 6
Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x9 => x = 4
Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x9 => x = 0 hoặc x = 9
Vậy các cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) và (9,6)
0,5
0,5
2. Cho .a) Chứng minh x 0
Vì => 
=> 6x => x 0 
b) Tìm x Z thỏa mãn đẳng thức trên
Vì x 0 => ó x + x+1+x+2 = 6x
ó 3x - 6x = -3 ó x = 1 (t/m)
0,5 
0,5
Câu 4
(2,0 đ)
 a) Tìm n nguyên để (n2 – n – 1) n – 1 
Ta có: n2 – n – 1 n – 1 ó n(n-1) – 1 n – 1
=> -1 n – 1 => n – 1 => n 
0,5
0,5
b) Tìm ƯCLN(2n + 1; 3n +1)
Gọi d là ƯCLN của 2n + 1 và 3n +1
=> 3(2n+1) – 2(3n+1) d => 1 d => d = 1 => ƯCLN(2n + 1; 3n +1) = 1
0,5
0,5
Câu 5
(2,0 đ) 
 O A B D x
 Ta có OA = 2cm ; OB = 4cm . Vì 2cm OA < OB nên A nằm giữa O và B
0,5
Vì A nằm giữa O và B nên OA + AB = OB
 ó 2 + AB = 4 => AB = 4 – 2 = 2 => AB = 2 cm
0,5
Vì OA + AB = OB và OA = AB = 2cm
Nên A là trung điểm của OB
0,5
Ta có BD = 2 . BA = 2.2 = 4 cm => BD = BO = 4 cm (1)
Vì O và D nằm trên hai tia đối nhau gốc B nên B nằm giữa O và D => OB + BD = OD (2)
Từ (1) và (2) suy ra B là trung điểm của OD
0,5
Câu 6 : ( 1.0 điểm )
 Đặt 
0.25
0.25
0.25
0.25