Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Vòng 1 – Quận 5 2015 -2016 Trang 1 Ngày: 3/10/2015 Thời gian: 120 phút Bài 1: (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức: 16 8 3 16 8 3 2 3 2 3 A . 4 2 3 4 2 3 2 3 2 3 b) Cho x, y, z là ba số dương và xy + yz +zx =1. Rút gọn biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 B 2 x y z z 1 x 1 y 1 Bài 2: (2 điểm) a) Cho ba số a, b, c 1;2 . Chứng minh: 1 1 1 a b c 10 a b c . b) Giải phương trình: x 3x 2 3 2 3x 2 x 2 . Bài 3: (2 điểm) a) Tìm x, y N thỏa: x x x y . b) Cho 1 2 1 2 x x m x .x 1 với m 2 hoặc m 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4 1 2 6 P x x . Dấu bằng xảy ra khi m bằng bao nhiêu? Bài 4: (1,5 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. 1) Giả sử diện tích tam giác AOD bằng 216 cm , diện tích tam giác BOC bằng 225cm . Tìm diện tích tam giác AOB và diện tích tam giác COD để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất. 2) Giả sử diện tích các tam giác AOB, BOC, COD, DOA là các số nguyên. Chứng minh tích các số đo diện tích của các tam giác đó là một số chính phương. Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh a, trên BC lấy điểm D sao cho a BD 3 . Đường trung trực của đoạn thẳng AD lần lượt cắt các cạnh AB, AC tại E và F. Tính độ dài ba cạnh của tam giác DEF theo a. Bài 6: (1 điểm) Lãi suất tiết kiệm của một ngân hàng như sau: Kỳ hạn (tháng) 6 7 8 9 10 11 12 Lãi tháng (%/năm) 6.16 6.20 6.24 6.28 6.32 6.35 6.49 Lãi quý (%/năm) 6.17 6.32 6.62 Lãi cuối kỳ (%/năm) 6.25 6.31 6.37 6.43 6.49 6.55 6.80 Không kỳ hạn (%/năm) 1.0 ĐỀ THI HSG LỚP 9 QUẬN 5 – Vòng 1 (2015-2016) Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Vòng 1 – Quận 5 2015 -2016 Trang 2 Lãi suất (%năm) :360 x (tổngsố ngày kỳ hạnlãi)x(số tiềngửi) 100 . Lãi không nhập vào vốn (nếu chưa lãnh lãi thì số tiền lãi không nhập vào tiền gửi). Rút vốn trước kỳ hạn: Lãi được tính không kỳ hạn. Mẹ của An gửi vào ngân hàng trên số tiền 100.000.000 đồng. Em hãy tính số tiền mẹ của An nhận được (làm tròn đến nghìn đồng) trong mỗi trường hợp sau: a) Giả sử mẹ của An gửi số tiền trên ngày 1/10/2015 với kỳ hạn 12 tháng, rút lãi hàng tháng. Đến ngày 1/3/2016 mới rút lãi 1 lần thì số tiền mẹ của An rút được bao nhiêu? (Trình bày lời giải) b) Giả sử mẹ của bạn An gửi số tiền trên ngày 1/10/2015 với kỳ hạn 9 tháng, lãnh lãi hàng quý. Mẹ của An lãnh lãi đủ từng kỳ, đến ngày 1/5/2016 mẹ của An rút hết cả tiền gửi và tiền lãi thì số tiền nhận được bao nhiêu? (Trình bày lời giải) HẾT Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Vòng 1 – Quận 5 2015 -2016 Trang 3 Thời gian: 120 phút Bài 1: (2 điểm) a) Rút gọn biểu thức: 16 8 3 16 8 3 2 3 2 3 A . 4 2 3 4 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 4 2 3 4 2 3 A 3 1 3 1 4 2 3 4 2 3 4 3 3 1 3 1 2 3 3 3 2 3 1 3 1 b) Cho x, y, z là ba số dương và xy + yz +zx =1. Rút gọn biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 B 2 x y z z 1 x 1 y 1 Ta có: 2 2 xy yz zx 1 x xy yz zx x 1 2x x y z x y x 1 2x 1 x y x z Cmtt: 2 2 y 1 x y y z z 1 x z y z Khi đó: x y x z x y y z B 2 x y z x z y z x y y z x z y z x z y z x y x z x y x z x y y z 2 2 2 B 2 x y z x y y z x z B 2 x y z 2 x y z vì x, y, z > 0 B 0 Vậy B 0 Bài 2: (2 điểm) a) Cho ba số a, b, c 1;2 . Chứng minh: 1 1 1 a b c 10 a b c . Vì vai trò a, b, c là như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả sử 1 a b c 2 Ta có: 1 1 1 a a b b c c a b c 1 1 1 a b c b c a c a b a b b c a c = 3 + + 1 b a c b c a Hướng Dẫn: ĐỀ THI HSG LỚP 9 QUẬN 5 – Vòng 1 (2015-2016) Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Vòng 1 – Quận 5 2015 -2016 Trang 4 Vì a b a b 1; 1 1 0;1 0 b c b c 1 a b c 2 b c b c 1; 1 1 0;1 0 a b a b a b b a a a b a 1 1 0 1 0 1 b c c b c b c c c b c b c ab c 1 0 11 1 0 b a a a b ca b a b b c a a 2 2 b a c b c c (Lưu ý: bắt cặp nhân sao cho xuất hiện được đầy đủ: a b b c a c ; ; ; ; ; b a c b c a ) Từ (1) và (2) 1 1 1 a c a b c 5 2 3 a b c c a Mặt khác: c c a 1 2a 2 c 2 2 0 a a a a c 1 2c 2 a 2 2 0 c c c a a c a c 5 2 2 0 4 2 2 1 0 4 a c c a c a 2 Từ (3) và (4) 1 1 1 5 a b c 5 2 10 a b c 2 b) Giải phương trình: x 3x 2 3 2 3x 2 x 2 . Điều kiện: 2 x 3 x 0 x 3x 2 9 2 3x 2 x 2 2 2 x 3x 2 5 2x 3x 2 2 2 x 9x 12x 4 5 2x 3x 2 2 2 2 2x 18x 24x 8 15x 10x 25x 14x 8 0 4 x nhận 5 x 2 nhận Vậy 4 S 2; 5 Bài 3: (2 điểm) a) Tìm x, y N thỏa: x x x y . Ta có: x x x y 2 2x x x y x x y x Đặt: 2y x a a N . Khi đó: 2x x a * Mà x N thì x là số tự nhiên hoặc là số vô tỉ. Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Vòng 1 – Quận 5 2015 -2016 Trang 5 Nên từ (*) thì x là số tự nhiên. Đặt: x m m N Khi đó: 2 2 2 m m m m 2m 1 2 2 2 m a m 1 2 2a m . Mà 2 2a m m Nên 2 2 m m m m 0 x 0 y 0 thử lại thấy đúng. Vậy x;y 0;0 b) Cho 1 2 1 2 x x m x .x 1 với m 2 hoặc m 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4 1 2 6 P x x . Dấu bằng xảy ra khi m bằng bao nhiêu? Ta có: 4 4 1 2 6 P x x 2 2 22 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 6 6 x x 2x x x x 2x x 2x x 2 2 2 6 P m 2 1 2 1 2 2 6 m 2 2 Ta có: 2 2 2 2 m 2 m 4 m 2 2 m 2 4 m 4 2 2 2 2 1 1 m 2 2 2 2 m 2 2 2 2 6 3 P 3 m 2 2 Dấu “=” xảy ra khi m 2 hay m 2 Vậy GTNN của P là 3 khi m 2 hay m 2 Bài 4: (1,5 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. 1) Giả sử diện tích tam giác AOD bằng 216 cm , diện tích tam giác BOC bằng 225cm . Tìm diện tích tam giác AOB và diện tích tam giác COD để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất. H K O D C A B Ta có: Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Vòng 1 – Quận 5 2015 -2016 Trang 6 AOB AOD COB COD S OB hai tam giác có cùng đường cao từ A S OD S OB hai tam giác có cùng đường cao từ C S OD AOB COB AOB COD COB AOD AOD COD S S S .S S .S S S AOB COD S .S 400 Ta có: ABCD AOB COD COB AOD AOB COD S S S S S S S 41 Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, ta được: AOB COD AOB COD S S 2 S .S 2 400 40 AOB COD S S 41 81 ABCD S 81 Dấu “=” xảy ra khi AOB COD 2AOB COD AOB COD S S S S 20 cm S S 40 Vậy ABCD S đạt GTNN là 2 81cm khi 2 AOB COD S S 20cm 2) Giả sử diện tích các tam giác AOB, BOC, COD, DOA là các số nguyên. Chứng minh tích các số đo diện tích của các tam giác đó là một số chính phương. Ta có: AOB COD COB AOD S .S S .S cma 2 AOB COD COB AOD AOD COB S .S .S .S S .S : là Số Chính Phương vì AOD COB S ,S là số nguyên. Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh a, trên BC lấy điểm D sao cho a BD 3 . Đường trung trực của đoạn thẳng AD lần lượt cắt các cạnh AB, AC tại E và F. Tính độ dài ba cạnh của tam giác DEF theo a. AB = AC = BC = a BD = a 3 DE = AE = x DF = AF = y H K I F E A B CD Ta có: a 2a BD CD 3 3 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Vòng 1 – Quận 5 2015 -2016 Trang 7 Ta có: EDF EAF DE AE tc đối xứng DF AF tc đối xứng . Đặt 0 EDF 60 DE AE x 0 DF AF y 0 Ta có: 2 2 2 DE BE BD 2BE.BD.cosB (định lý hàm Cos) 2 2 2 0AE BE BD BE.BD vì DE = AE;B 60 2 2 2 a a x a x a x 9 3 2 2 2 2 2 2 7a 9x 9a 18ax 9x a 3a 3ax 15ax 7a x 15 7a ED 15 Ta có: 2 2 2DF CD CF 2CD.CF.CosC Định lý hàm Cô-sin trong DFC 2 2 2 4a 2a 1 y a y 2. a y . 9 3 2 2 2 2 2 2 4a 4a 2ay y a 2ay y 9 3 3 2 7 4 7a a ay 0 7a 12y 0 y 9 3 12 7a FD 12 Ta có: 2 2 2 EF ED DF 2ED.DF.CosEDF (Định lý hàm Cô – sin trong DEF ) 2 2 2 7a 7a 7a 7a 1 EF 2. . . 15 12 15 12 2 7a 21 EF 60 Vậy 7a 7a 7a 21 DE ;DF ;EF 15 12 60 BỔ ĐỀ: (Định lý hàm Cô-sin) Cho ABC nhọn có 3 đường cao AH, BI cắt nhau tại O. Chứng minh: 2 2 2 2BC AB AC AB.AC.CosA O I H A B C Chứng minh: 2 2 2 2BC AB AC AB.AC.CosA Ta có: Ta dễ dàng chứng minh được: OH BH BOH ACH OH.AH CH.BH CH AH ∽ Ta có: 2 2 AI AI CosA (tslg) AB.AC.CosA .AB.AC AB.AC.CosA AI.AC AB AB Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Vòng 1 – Quận 5 2015 -2016 Trang 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AB AH BH AC AH HC AB AC 2AH BH HC AB AC 2AB.AC.CosA 2AH BH HC 2AI.AC AB AC 2AB.AC.CosA 2AH BH HC 2AO.AH AB AC 2AB.AC.CosA 2AH AH AO BH HC AB AC 2AB.AC.CosA 2AH.HO BH HC 2 2 2 2 2 2 2 AB AC 2AB.AC.CosA 2BH.CH BH HC AB AC 2AB.AC.CosA BC Vậy 2 2 2 2BC AB AC AB.AC.CosA Bài 6: (1 điểm) Lãi suất tiết kiệm của một ngân hàng như sau: Kỳ hạn (tháng) 6 7 8 9 10 11 12 Lãi tháng (%/năm) 6.16 6.20 6.24 6.28 6.32 6.35 6.49 Lãi quý (%/năm) 6.17 6.32 6.62 Lãi cuối kỳ (%/năm) 6.25 6.31 6.37 6.43 6.49 6.55 6.80 Không kỳ hạn (%/năm) 1.0 Lãi suất (%năm) :360 x (tổngsố ngày kỳ hạnlãi)x(số tiềngửi) 100 . Lãi không nhập vào vốn (nếu chưa lãnh lãi thì số tiền lãi không nhập vào tiền gửi). Rút vốn trước kỳ hạn: Lãi được tính không kỳ hạn. Mẹ của An gửi vào ngân hàng trên số tiền 100.000.000 đồng. Em hãy tính số tiền mẹ của An nhận được (làm tròn đến nghìn đồng) trong mỗi trường hợp sau: a) Giả sử mẹ của An gửi số tiền trên ngày 1/10/2015 với kỳ hạn 12 tháng, rút lãi hàng tháng. Đến ngày 1/3/2016 mới rút lãi 1 lần thì số tiền mẹ của An rút được bao nhiêu? (Trình bày lời giải) Tổng số ngày từ 1/10/2015 đến 1/3/2016: 31 30 31 31 29 152 ngày (do năm 2016 là năm nhuận nên tháng 2 có 29 ngày) Số tiền mẹ An rút được là: 6,49 :360*152*100.000.000 2.740.000(đồng) 100 b) Giả sử mẹ của bạn An gửi số tiền trên ngày 1/10/2015 với kỳ hạn 9 tháng, lãnh lãi hàng quý. Mẹ của An lãnh lãi đủ từng kỳ, đến ngày 1/5/2016 mẹ của An rút hết cả tiền gửi và tiền lãi thì số tiền nhận được bao nhiêu? (Trình bày lời giải) Từ 1/10/2015 đến 1//2016 được 7 tháng, do mẹ An đã lãnh lãi đủ từng kỳ nên đã nhận được 2 quý và còn 1 tháng. Đến ngày 1/5/2016 thì mẹ An rút hết tiền nên số tiền lãi nhận được trong 30 ngày với lãi suất 1% (vì lãnh trước kỳ hạn) là: 1 :360*30*100.000.000 83.000(đồng) 100 Vậy số tiền mẹ An nhận cả tiền gửi là lãi là: 100.000.000 83.000 100.083.000(đồng) HẾT
Tài liệu đính kèm: