Đề thi học sinh giỏi Lớp 9 cấp huyện môn Toán - Năm học 2011-2012

UBND HUYỆN TÂN HỒNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 - 2012
Môn thi: Toán
Ngày thi: 08/02/2012
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian phát đề)
( Đề gồm có 01 trang)
Nội dung đề thi:
Câu 1: (3 điểm)
	1/. Tính : A = 
2/ .Từ kết quả câu (1). Hãy tính giá trị biểu thức:
 B = A + . (2- )
Câu 2: (4 điểm)
	 Chứng minh chia hết cho 24 với a,b,cZ
Câu 3 : (5 điểm ) .
 Bài 1: Cho hệ phương trình : ( m là tham số , ) 
Giải hệ phương trình khi m = 4 .
Giải hệ phương trình trên sao cho x + y nhỏ nhất .
 Bài 2 : Hai giá sách chứa 450 cuốn . Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai sẽ bằng số sách ở giá thứ nhất . Tính số sách lúc đầu ở trong mỗi giá sách .
Câu 4: (4 điểm)
Cho (O) đường kính AB, D thuộc OB, đường trung trực của AD cắt (O) tại C, K và cắt AD tại H,đường tròn đường kính BD cắt BC tại E.
a/ Tứ giác ACED là hình gì? Tại sao?
b/ CMR: E, D, K thẳng hàng.
c/ CMR: ECH cân.
d/ CMR: HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BD.
Câu 5 : (4 điểm).
	Cho tam giác nhọn ABC . Về phía ngoài của tam giác , ta dựng các tam giác vuông cân ABE và ACF đỉnh A.
	a/ Chứng minh rằng : Đường trung tuyến AI của tam giác ABC vuông góc với EF.
	b/ Chứng minh rằng: Đường cao AH của tam giác ABC đi qua trung điểm của EF.
Hết
UBND HUYỆN TÂN HỒNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
	HƯỚNG DẪN CHẤM, KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 	
CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 - 2012
 Môn thi: Toán
 Ngày thi: 08/02/2012
 Câu
 Nội dung
 Điểm
1
1/ .A = +3
 = 18 +3A
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
2
Đặt a + b – c = x ; b + c – a = y ; c + a – b = z	
=> a + b + c =x + y + z, x+y = 2b , x + z = 2a , y + z = 2 c	
Ta có : 	
 = 	
 = 3(x+y)(y+z)(z+x)
 = 24abc 24	 
0,5
1,0
1,0
1,0
0,5
3
Bài 1 : a) Khi m = 4 ta có hệ : 
 Vậy hệ có nghiệm duy nhất là : (2 ; -2)
 b) Ta có : 
 Ta có : x + y = - 2 ( vì )
 Vậy x + y = -2 là giá trị nhỏ nhất khi m = 0
 Do đó hệ có nghiệm ( 0 ; -2 ) thì x + y nhỏ nhất .
Bài 2 : Gọi x (cuốn) (x>50) là số sách ở giá thứ nhất lúc đầu .
 => Số sách ở giá thứ hai lúc đầu là 450 – x (cuốn).
 Khi chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai ta có :
 Số sách giá thứ nhất còn là x -50 và sách ở giá thứ hai là 500–x cuốn.
 Theo đề bài ta có : 500 – x = 
Giải phương trình trên ta được : x = 300
Vậy : Số sách lúc đầu ở giá thứ nhất là 300 cuốn, giá thứ hai là 150 cuốn.
0,5
1
0,75
0,5
0,25
0,5
0,5
0,75
0,25
4
a/ (vì AB là đường kính) 
 (vì BD là đường kính)	
 là hình thang vuông	
b/ 
 (vì OA là bán kính) là hình thoi 
 (gt)
Mà (câu a)
 thẳng hàng (đpcm)	
c/ tại E( vì BD là đường kính)	
 HC= KH(gt) 
cân tại H (đcmp)	
d/ cân tại H (câu c)
Mà và 
 là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính BD(đpcm)	
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5
a/. Trên tia đối của tia IA lấy điểm D sao cho ID = IA
 ADBC là hình bình hành ( do IB = IC ; ID = IA )
 AB = CD và AC = BD
 Ta có : AE = AB ; BD = AF ; góc EAF = góc ABD 
 Nên : Tam giác ABD = tam giác EAF
 góc BAD = góc AEK
 Mà : góc BAD + góc EAK = 90; nên góc KEA + góc EAK = 90
 góc EKA = 90
 AD vuông góc với EF hay AI vuông góc với EF
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
b/ . Ta có : CD = AE ; AF = AC ; góc EAF = góc ACD
 tam giác EAF = tam giác DCA
 EF = AD 
 Xét tam giác AIC và tam giác FMA có :
 Góc IAC = góc AFM ; AF = AC ; góc MAF = góc ACI
 Nên tam giác AIC = tam giác FMA
 MF = AI
 Mà : AI = AD , nên MF = AD
 Hay MF = EF
 M là trung điểm của EF.
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
* LƯU Ý : Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm, nếu lí luận chặc chẽ, đưa đến kết quả đúng, giám khảo cho điểm tối đa.
 Hết..