Đề thi học sinh giỏi lớp 8 năm học 2014 - 2015 môn thi: Toán thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
HUYỆN NHO QUAN 
NĂM HỌC 2014-2015
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
 ĐỀ BÀI
Câu 1 (4 điểm): 
 1.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 a) b) 
 2. Cho A = và B = . Tính .
Câu 2 (2 điểm): Giải phương trình
 - 2005x – 2006 = 0
|3x – 1| - |2x + 5| = 4
|x – 2| + |x – 3| + |2x – 8| = 9
Câu 3 (5 điểm): Lúc 7h sáng, một người đi xe máy từ A đến B dài 45km. Tới B, người đó giải quyết xong công việc trong 1h30’ rồi quay về A , tới A lúc 11h. Đoạn đường AB gồm một đoạn đường bằng phẳng và một đoạn đường lên dốc. Vận tốc lúc lên dốc là 24km/h, lúc xuống dốc là 45km/h và trên đường bằng là 40km/h. Hỏi đoạn đường bằng dài bao nhiêu km?
Câu 4 (3 điểm):
 1.So sánh A = 1997 . 1999 và B = 1998
 2. Chứng minh rằng 
 a) 
 b) Nếu thì a = b
Câu 5 (6 điểm): Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF.
a) Chứng minh rằng: AE ^ BC.
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB.
 ---Hết---
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN NHO QUAN 
 HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn thi : Toán 
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
Câu 1
(4 điểm)
phần1
2đ
 a) 
= 
= 
= 
= (
b) 
= 
= 
= 
= 
0.25
 0.25
 0.25
 0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
phần2
2đ
 Ta có : A = = (
 B = = 
=> = = 
0.75
0.75
0.5
Câu 2
( 2 điểm )
Câu 3
(3 điểm)
Câu 4
(3 điểm)
 a) - 2005x – 2006 = 0
 ó + x – 2006x – 2006 = 0
 ó x (x + 1) – 2006(x + 1) = 0
 ó (x + 1)(x – 2006) = 0
 x + 1 = 0 ó x = -1
 x – 2006 = 0 ó x = 2006
 Vậy tập nghiệm của phương trình là S ={-1;2006}
0.2
0.2
0.15
0.15
0.15
 0.15
 b) - Có thể xét bảng hoặc không xét bảng
 - ( học sinh làm theo cách khác mà trình bày đúng và kết quả
 đúng vẫn cho điểm tối đa).
 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {;10}
1
Phần 1
Phần 2
 Đổi 1h30’ = giờ
Gọi độ dài đoạn đường bằng là x (km) (0 < x < 45)
à Thời gian lên dốc là: (h)
à Thời gian xuống dốc là: (h)
à Thời gian đi đoạn đường bằng là (phải tính 2x vì ta tính thời gian cả đi và về)
Theo bài ra, ta có phương trình:
 + + + = 4
Giải phương trình ta được x = 27 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy độ dài đoạn đường bằng là 27 km.
Ta có: A = 1997 . 1999
 = (1998 – 1) . (1998 + 1)
 = 1998 - 1 
 mà 1998 - 1 < 1998
 nên A < B
a)Ta có: 
 = 
 = = VP
 => VT = VP (đpcm) 
b) Từ 
 => 
 => 
 => 
 => 
 => 
 => a – b = 0
 => a = b (đpcm)
(GV chấm tự chia nhỏ biểu điểm tùy theo bài làm của học sinh.
0.25
0.25
0.25
0.25
 0.5
0.25
0.25
0.125
0.125
0.125
0.125
0.125
0.125
0.125
0.125
Câu 5
(6 điểm )
0,5
a
2đ
∆AME = ∆CMB (c-g-c) Þ ÐEAM = ÐBCM
Mà ÐBCM + ÐMBC = 900 Þ ÐEAM + ÐMBC = 900
Þ ÐAHB = 900
Vậy AE ^ BC
1
0,5
0,5
b
2đ
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến 
Þ ∆DHM vuông tại H
Þ ÐDHM = 900
Chứng minh tương tự ta có: ÐMHF = 900
Suy ra: ÐDHM + ÐMHF = 1800
Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng.
0,5
0,5
0,5
0,5
c
1,5đ
Gọi I là giao điểm của AC và DF.
Ta có: ÐDMF = 900 Þ MF ^ DM mà IO ^ DM Þ IO // MF
Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF 
Kẻ IK ^ AB (KÎAB) 
Þ IK là đường trung bình của hình thang ABFD 
 (không đổi)
Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định.
Vậy đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB
0,5
0,5
0,5
Lưu ý : Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.