Đề thi học sinh giỏi lớp 8 môn thi: Toán thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
 HUYỆN CỦ CHI
Ngày 04 tháng 04 năm 2016
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ BÀI
Câu 1 (2 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử
Câu 2 (3 điểm): Cho biểu thức A = 
 a) Tìm giá trị của x để biểu thức A xác định.
 b) Tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị bằng 0.
 c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên.
Câu 3 (5 điểm): Giải phương trình:
 a) 
 b) 
 c) (phương trình có hệ số đối xứng bậc 4)
Câu 4 (4 điểm): 
 a) Tìm GTNN: 
 b) Tìm GTLN: 
Câu 5 (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. 
 a) Tính tổng 
 b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
 c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB.
___*HẾT*___
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
 HUYỆN CỦ CHI
Ngày 04 tháng 04 năm 2016
Môn thi: TOÁN
Câu 1 (2 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử
 a) (1 điểm)
 = 
 = 
 = 
 b) (1 điểm)
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
Câu 2 (3 điểm): Cho biểu thức A = 
 a) ĐKXĐ: (1 điểm)
 ó và 
 b) (1 điểm)
 = 
 = 
 A = 0 ó 3x + 4 = 0
 ó x = ( thỏa mãn ĐKXĐ)
 Vậy với x = thì A = 0.
A = = = 1 + (1 điểm)
Vì ó ó ó 3x – 1 Ư(5)
 mà Ư(5) = {-5;-1;1;5} 
3x – 1 -5 -1 1 5
 x -4/3 (loại) 0 (nhận) 2/3 (loại) 2 (nhận)
 Vậy tại x {0;2} thì A Z.
Câu 3 (5 điểm): Giải phương trình:
 a) (1 điểm)
 Giải phương trình ta được tập nghiệm S = {-2;1}
 b) (2 điểm)
 ó 
 ó 
 ó 
 ó 
 ó vì ()
 ó x = -2009
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2009}
 c) (2 điểm)
 ó Chia cả 2 vế cho , ta được:
 ó (*)
 ó Đặt = y => = 
 Thay vào phương trình (*) rồi giải phương trình, ta được
Tập nghiệm của phương trình là: {-2;;0;}
Câu 4 (4 điểm): 
 a) Tìm GTNN: P= 
 b) Tìm GTLN: Q= 
 a) P = (2 điểm)
 P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015
 P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010
 P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 2010
 => Giá trị nhỏ nhất của P = 2010 khi 
 b) Q = (2 điểm)
 = 
 = 
 = 
 Q đạt GTLN ó đạt GTNN 
 Mà 
 => đạt GTNN là 1 khi x = 0.
 => GTLN của C là 3 khi x = 0.
Câu 5 (6 điểm): Vẽ hình đúng (0,5điểm) a) ; (0,5điểm) 
Tương tự: ; (0,5điểm)
 (0,5điểm) 
b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
 (0,5điểm ) 
 (0,5điểm ) 
c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,5điểm)
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,5điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,5điểm)
-BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 
 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,5điểm) 
 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,5điểm) 
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 
	 (0,5điểm) 
(Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC
 ABC đều)