Đề thi học sinh giỏi lớp 8 (đề 1) thời gian: 150 phút

PHONG GD&ĐT SẦM SƠN Ma trận Đề thi học sinh giỏi toán 8 (Đề 1)
TRƯỜNG THCS BẮC SƠN
Mục tiêu: 
Đề kiểm tra phù hợp với trình độ học sinh. Phân loại được đối tượng học sinh. Phát hiện được học sinh có kiến thức, năng lực để chọn đội tuyển chuẩn bị cho kỳ thi cấp tỉnh.
II) MA TRẬN
Chủ đề
 Cấp độ nhận thức
điểm
Nhận biết
 Thông hiểu
 Vận dụng
cấp độ thấp
cấp độ cao
I )Biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ
Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử,bằng phương pháp đăt ẩn phụ ; tính giá trị biểu thức có điều kiện ràng buộc của các biến
Số câu
Điểm
2
 4
2
 4
II)Chứng minh chia hết
K ỹ năng vận dụng các tính chất chia hết; các phương pháp chứng minh chia hết
Số câu
Điểm
1
 1,5
1 
 1,5 
III)Đa thức chia hết
Kỹ năng vận dụng các tính chất chia hết của đa thức; kỹ năng phân tích thành nhân tử
Số câu
Điểm
1
 2
1
 2
IV)Số lũy thừa
 Ước của một số nguyên tố; kỹ năng phân tích thành nhân tử
Số câu
Điểm
1
 2
1
 2
V)Phương trinh
bất phương trình
Kỹ năng giải phương trình đưa về phương trình bậc nhất 1 ẩn; giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Số câu
Điểm
2
 3
2
 3
VI)Cực trị đại số
Kỹ năng vân dụng bất đẳng thức phụ và đặt ẩn phụ trong bài toán cực trị
Số câu
Điểm
1
 1,5
1
 1.5
chứng minh tính chất các hình
Kỹ năng vận dụng định lý Ta let; tính chất đường phân giác; tam giác đồng dạng; kỹ năng biến đổi tỉ lệ thức
Số câu
Điểm
3
 6
3
 6
t ổng
11
 20
 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (ĐỀ 1)
 Thời gian: 150 phút
Câu 1: (4đ)
a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6 
b, Cho x Z chứng minh rằng x200 + x100 +1 x4 + x2 + 1 
Câu 2: (2đ) 
Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz và + + = 
Tính giá trị của biểu thức P = 
Câu 3: (3đ) Tìm x biết
a, < 5x -4
b, + = 
Câu 4: (3đ)
a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9 với mọi n N*
b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
P = 
Bài 5: (6đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo .
Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
Bài 6: (2 đ) 
 Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập phương của một số tự nhiên khác.Tìm số đó.
 PHONG GD&ĐT SẦM SƠN
TRƯỜNG THCS BẮC HƯỚNG DẪN CHẤM HSG TOÁN 8ĐỀ 1
Câu1(4đ)
a,đặt a = x2 -2x thì x2 -2x -1 = a-1 
A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2)
b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1)
=x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) +(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1) 
dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 + 1 
A chia hết cho x4 + x2 + 1 
.1đ
1đ
1đ
1đ
Cau 2 :(2đ
Có (= + 2(
(= p + 2 vậyP+2=3
suy ra P = 1
0.75đ
0,75đ
0.5đ
Câu 3: (3đ)
 giải 4-5x < 3x +2< 5x - 4
làm đúng được x> 3 
b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung 
(x+100)() = 0 S = 
1đ
0.5đ
1đ
0.5đ
Câu 4: 
3đ
a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)
=3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3)
Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3
=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)
Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp )
3(n+1) chia hết cho3 B chia hết cho 3 A =3B chia hết cho 9
b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c x+y+z = 
 x = ; y = ; z= 
P = = = 
 Min P = ( Khi và chỉ khi a=b=c x=y=z 
0.5đ
0,5đ
0,5đ
0.5đ
1đ
Câu 5: (2đ)
+ Hai tam giác ADC và BEC có: 
 Góc C chung. 
 (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
 Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). 
Suy ra:BEC=(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên do đó tam giác ABE vuông cân tại A.
 Suy ra: 
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
b)
2đ
Ta có: (do~)
mà (tam giác AHD vuông vân tại H)
nên (doABH Đồng dạng CBA)
Do đó BHM đồng dạng BEC (c.g.c)
 suy ra: 
0,5đ
1đ
0,5đ
C)
2đ
Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suyra: , 
vì~nên (DE//AH)
Do đó: 
1đ
1đ
Câu 6
Đặt: 2p+1=a3 (a >1) Ta có 2p=(a-1)(a2+a+1)
Vì p là số nguyên tố nên:
Hoặc : a-1=2 suy ra p=13 ( thoả mãn)
Hoặc: a2+a+1 =2 điều này không xảy ra vì a >1
Vởy trong các số tự nhiên có dang 2p+1 (p là số nguyên tố) chỉ có 1 số là lập phương của một số tự nhiên khác.
1đ
0,5đ
0,5đ
Lưuý: .Học sinh làm cách khác đúng vân cho điểm tối đa
 Người ra đáp án: Nguyễn Văn Bằng