Đề thi học sinh giỏi lớp 6 năm học 2014 – 2015 môn Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN .........
(ĐỀ CHÍNH THỨC)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6
NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
 (Đề này gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1 (5,0 điểm ):
Tính nhanh:
a) - + . b) ( + - )( - - ).
2. So sánh:
a) 3200 và 2300 b) 7150 và 3775 c) và .
Câu 2 (4,0 điểm):
Cho = ++++ . Chứng minh rằng: < 1.
Cho = 21 + 22 + 23 +  + 22016. Chứng minh rằng: chia hết cho 21.
Câu 3 (3,0 điểm): 
Đoàn học sinh của một trường gồm 48 nam và 32 nữ được chia vào các tổ để vệ sinh đường làng ngõ xóm. 
a) Hỏi có bao nhiêu cách chia tổ sao cho số nam và số nữ được chia đều cho mỗi tổ.
b) Cách chia nào để mỗi tổ có số người trong mỗi tổ là ít nhất ?
Câu 4 (5,0 điểm):
Trên đường thẳng lấy điểm tuỳ ý. Vẽ hai tia và nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ sao cho: xOz = 400, x’Oy = 3.xOz.
Trong ba tia tia nào nằm giữa hai tia còn lại ?
Gọi là tia phân giác của góc x’Oy. Tính góc zOz’ ?
Câu 5 (3,0 điểm): 
a) Một số tự nhiên chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7 . Hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu?
b) Trình bày cách tính giá trị của P bằng cách sử dụng máy tính cầm tay Casio. 	P = 201420152016 . 20142015
-------------Hết------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:......................................
Số báo danh:............................................
Chữ ký của giám thị 1:...............................
Chữ ký của giám thị 2:............................
PHÒNG GD&ĐT
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI
 NĂM HỌC 2014- 2015
MÔN: TOÁN 6
Câu
ý
Tóm tắt lời giải
Điểm
Câu1
5.0đ
1.
2.0đ
a) - + = - + 
= ( - +)
= (1-)
= = 
b) ( + - )( - - )
= ( + - )( - - )
= ( + - )0 = 0
0.5
0.5
0. 5
0. 5
2.
3.0đ
a. So sánh 3200 và 2300
Ta có: 3200 = (32)100 = 9100
 2300 = (23)100 = 8100
mà 8100 < 9100 nên 2300 < 3200
b. So sánh 7150 và 3775
Ta thấy: 7150 < 7250 = (8.9)50 = 2150.3100 (1)
 3775 > 3675 = (4.9) 75 = 2150. 3150 (2)
mà 2150. 3150 > 2150.3100 (3)
Từ (1), (2), và (3) suy ra: 3775 > 7150 
c. So sánh và .
Ta có: = . = 
 = . = 
Vậy = .
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu2
4.0đ
a.
2.0đ
 Chứng minh: = ++++ 
Ta có: < = - 
 < = - 
 < = - 
Vậy: = ++++ < 
 - + - +  + 
 = 
0.5
0.5
0.5
0.5
b.
2.0đ 
B = 21 + 22 + 23 +  + 22016
Ta có: B = 21 + 22 + 23+  + 22016 
 = (21 + 22) + (23 + 24) +  +(22015+22016)
 = 2.(1+2) + 23.(1+2) +  + 22015.(1+2)
 = 3.( 2 + 23 ++ 22015) suy ra B 3 (1) 
 Ta có: B = 21 + 22 + 23+  + 22016 
 = (21 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) +  (22014 +22015 + 22016)
 = 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) +  + 22014.(1+2+22)
 = 7 (2 + 24 +  + 22014) suy ra B 7 (2)
Mà 3 và 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau. Kết hợp với (1) và (2) suy ra :
 B 3.7 hay B 21 
0.75
0.75
0.5
Câu3
3.0đ
a)
1,5đ
 Tỡm ƯCLN (48; 32) = 16.
ƯC (16) = {1; 2; 4; 8; 16}
 Loại trường hợp là 1 tổ.
Vậy đội cú thể cú 4 cỏch chia tổ sau: 2 tổ, 4 tổ, 8 tổ hoặc 16 tổ.	
0.5
0.5
0.5
b)
1,5đ
 Số tổ phải nhiều nhất để số người trong mỗi tổ là ít nhất.
 Vậy phải chia thành 16 tổ.
 Mỗi tổ có số nam là: 48 : 16 = 3 (nam)
	 Mỗi tổ có số nữ là: 32 : 18 = 2 (nữ)
Vậy mỗi tổ có ít nhất là: 3 + 2 = 5 (người).
0.5
0.5
0.5
Câu4
5.0đ
a.
3.0đ
x,
z,
y
z
x
400
O
a. Theo bài ra: = 3. nên: = 3.400 = 1200
Hai góc và là 2 góc kề bù nên = 1800 - 
= 1800 -1200 = 600
Hai tia Oy, Oz nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia x’x
lại có nhỏ hơn nên tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và Oy.
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
b.
2.0đ
Ta có: + = 
hay = - = 600 - 400 = 200
Mà = . = . 1200 = 600 (Oz, là tia phân giác )
Vậy: = + = 600 + 200 = 800
0.5
0.5
0.5
0,5
Câu5
3.0đ
a)
1đ
Gọi số đã cho là A. Theo bài ra ta có:
 A = 7.a + 3 = 17.b + 12 = 23.c + 7 ( với )
Mặt khác: A + 39 = 7.a + 3 + 39 = 17.b + 12 + 39 = 23.c + 7 + 39
 = 7.(a + 6) = 17.(b + 3) = 23.(c + 2)
Như vậy A+39 đồng thời chia hết cho 7,17 và 23. 
Nhưng 7,17 và 23 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: (A + 39) 7.17.23 nên (A+39) 2737
Suy ra A+39 = 2737.k suy ra A = 2737.k - 39 = 2737.(k-1) + 2698
Do 2698 < 2737 nên 2698 là số dư của phép chia số A cho 2737 
0.25
0.25
0.25
0.25
b)
2đ
P = 201420152016 . 20142015
 = 
 = 
 =
4
0
4
8
5
4
5
0
1
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+
8
4
5
9
6
4
6
3
0
0
0
0
0
0
0
0
+
3
0
6
1
5
8
6
2
8
0
0
0
0
+
3
2
2
2
7
2
2
4
0
 = 4057007723208552240
0.5
0.5
0.5
0.5
Ghi chú:
 - Bài hình học nếu học sinh không vẽ hình hoặc hình sai cơ bản thì không chấm. 
 - Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng. 
---------------------Hết------------------------