Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2015 – 2016. Môn thi: Toán 8 thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

PHềNG GD&ĐT HƯƠNG SƠN
TRƯỜNG THCS SƠN TIẾN
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2015– 2016. Mụn thi: TOÁN 8
Thời gian: 90 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1: 
 	a) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: 
 	b) Tỡm cỏc số nguyờn sao cho: .
 	c) Tỡm cỏc hằng số a và b sao cho chia cho dư 7; chia cho dư 4. 
Cõu 2: 
 	a) Tớnh giỏ trị biểu thức: 
A= với 
 	 b) Tỡm để B cú giỏ trị nhỏ nhất: B với > 0.
Cõu 3: 
 Cho a; b; c là ba cạnh của tam giỏc. 
Chứng minh: 	
Cõu 4 : 
Gọi O là giao điểm hai đường chộo AC và BD của hỡnh thang ABCD (AB//CD). Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
 	 a) Chứng minh OM=ON.
 	 b) Chứng minh .
 	 c) Biết Tớnh  ?
 Câu 5: Trên cạnh AB ở phía trong hình vuông ABCD dựng tam giác AFB cân , đỉnh F có góc đáy là 150 . Chứng minh tam giác CFD là tam giác đều ./. 
Cõu:
Nội dung
Điểm
1a
0,75đ
a/ =
0,5
=
0,25
b/ . Do là cỏc số nguyờn nờn ta cú: 
0,25
0,75đ
TH1: (thỏa món) hoặc (thỏa món)
0,25
TH2: (thỏa món) hoặc (thỏa món)
0,25
0,75đ
c/ Vỡ chia cho dư 7 nờn ta cú: = do đú với thỡ -1-a+b=7, tức là a-b = -8 (1).
0,25
Vỡ chia cho dư 4 nờn ta cú: = do đú với thỡ 8+2a+b=4, tức là 2a+b=-4 (2).
0,25
Từ (1) và (2) suy ra a=-4;b=4.
0,25
2.
a.
0,75đ
a/ Ta cú: với mọi nờn ta cú:
0,25
A= 
= 
0,25
Thay vào A ta cú: A=
0,25
b
1,0đ
b/ B==
0,5
=.
0,25
Dấu “=” xẩy ra khi .
0,25
Vậy GTNN của B là đạt được khi .
3.
vỡ a; b; c là ba cạnh của tam giỏc nờn: a + b - c > 0; - a + b + c > 0; 
0,25
1,0đ
a - b + c > 0. Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0
0,25
ta cú: x + y + z = a + b + c; 
0,25
0,25
0,25
Mà x + y + z = a + b + c nờn suy ra điều phải chứng minh
1,0đ
vỡ a; b; c là ba cạnh của tam giỏc nờn: a + b - c > 0; - a + b + c > 0; 
0,5
4.
 hỡnh vẽ
0,25
1,0đ
a/ Do MN//AB và CD và . Do đú: (1)
0,25
Tương tự: (2)
0,25
Từ (1);(2) 
0,25
0,25
1,0
0,75
b/ Hai tam giỏc cú cựng đường cao thỡ tỉ số diện tớch 2 tam giỏc bằng tỉ số giữa 2 cạnh đỏy tương ứng. Do vậy : và 
0,25
Nhưng nờn .
Tương tự .Vậy 
0,5
0,25
c/ Hạ AH, BK vuụng gúc với CD tại H và K
Do nờn H, K nằm trong đoạn CD
Ta cú . 
Tứ giỏc BCEA là hỡnh bỡnh hành nờn BC=AE Vậy AD>BC DH>KCDK > CH. 
0,25
0,25
Theo định lý pitago cho tam giỏc vuụng BKD ta cú : (Do 
0,25
HS làm cỏc cỏch khỏc đỳng vẫn chấm điểm tối đa
 2 	
 	 I
	 2
	 F 2
 	 H	
	 150	 150 2
Câu 5: 	 D	 C 
	F	F
	A	 B	
Dựng tam giác cân BIC như tam giác AFB có góc đáy 150 . 
Suy ra : (1) .
Ta có (theo cách vẽ) nên: FB = IB (2).
Từ (1) và (2) suy ra : đều .
Đường thẳng CI cắt FB tại H . Ta có: = 300 ( góc ngoài của ).
Suy ra: = 900 ( vì = 600 ) Tam giác đều FIB nên IH là trung trực của FB hay CH là đường trung trực của . Vậy cân tại C . Suy ra : CF = CB (3)
Mặt khác : cân tại F . Do đó: FD = FC (4).
 Từ (3) và (4), suy ra: FD = FC = DC ( = BC).
 Vậy đều.