Đề thi học sinh giỏi cấp trường khối 10 năm học 2015 – 2016 môn : Toán thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CON CUÔNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn : TOÁN 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (5,0 điểm) Cho phương trình: (1)
a) Giải phương trình (1) khi 
b) Giả sử là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m sao cho
Câu 2. (3,0 điểm) Giải phương trình: 
Câu 3. (2,0 điểm) Cho là các số thực thỏa mãn: và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Câu 4. (3,0 điểm) Cho . Tính giá trị biểu thức sau:
Câu 5. (4,0 điểm) Cho tam giác . Điểm thuộc cạnh sao cho , I là điểm thuộc đoạn sao cho . Xác định điểm thuộc cạnh sao cho ba điểm thẳng hàng.
Câu 6. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác có , đường phân giác trong của góc cắt cạnh tại . Viết phương trình cạnh . Biết đường tròn ngoài tiếp tam giác có phương trình: . 
---- Hết ----
Họ tên thí sinh:............................................................. Số báo danh:...................................
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC 
 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
1.
5,0
a)
Giải phương trình (1) khi 
1,5
Khi PT (1) có dạng: 
0,5
Ta có: 
0,5
 PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: và 
0,5
b)
Tìm giá trị m thỏa mãn
3,5
Để PT(1) có 2 nghiệm 
0,5
 (*)
1,0
Theo hệ thức Viet ta có: và 
0,5
Theo bài ra: 
0,5
 (Không thỏa mãn)
0,5
Vậy không có giá trị m thỏa mãn bài toán.
0,5
2.
Giải phương trình: 
3,0
ĐK: 
Trên ĐK đó PT
0,5
Giải PT(1). Ta nhận thấy không là nghiệm của PT (1) nên
PT (1) 
0,5
Đặt ; ĐK: 
0,5
(Loại)
Ta được PT: 
0,5
Khi ta có 
Vậy PT đã cho có ba nghiệm: và 
1,0
3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2,0
Ta có: 
Đặt: . Khi đó: 
0,5
Theo bài ra: (do )
0,5
Xét hàm số: trên đoạn 
t
Ta có bảng biến thiên:
0,5
Vậy khi hoặc 
0,5
4.
Tính giá trị của biểu thức
3,0
Ta có: 
1,0
0,5
Theo bài ra: 
Do 
1,0
Vậy: 
0,5
5.
Xác định điểm K
4,0
Đặt: và 
0,5
Khi đó: 
0,5
Ta có:
Mà 
1,0
Để ba điểm thẳng hàng thì 
0,5
0,5
Suy ra 
Vậy điểm thuộc cạnh sao cho 
1,0
6.
Viết phương trình cạnh 
3,0
Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác có tâm 
0,5
Phương trình đường thẳng 
0,5
B
I
D
C
A
E
Giao điểm E khác A của AD với đường tròn (C) là nghiệm của hệ:
Mặt khác: (do AD là phân giác)
1,0
0,5
Mà cạnh BC có vtpt 
Phương trình cạnh BC: 
0,5
Một số điểm lưu ý: 
Học sinh có thể giải cách khác đáp án nếu đúng cho điểm tương ứng như trong đáp án đã nêu.
Cách giải khác Câu 3: (Dồn biến theo tích a.b)
Ta có: 
Đặt: . Khi đó: 
Theo bài ra: (do )
Xét hàm số: trên đoạn 
t
Ta có bảng biến thiên:
Vậy khi hoặc 
Cách giải khác Câu 5: (Bằng cách sử dụng định lí Menelaus)
Định lí (Menelaus): Là định lí không quen thuộc trong chương trình giáo khoa THCS.
Vì vậy yêu cầu học sinh cần nêu rõ tên và nội dung của định lí như dưới đây (không cần chứng minh). 
Định lí (Menelaus): Cho tam giác ABC, ba điểm M,N,P lần lượt nằm trên các đường thẳng AB, BC, CA. Nếu M,N,P thẳng hàng khi và chỉ khi 
Áp dụng định lí (Menelaus) cho tam giác AMC ta có ba điểm I,B,K lần lượt nằm trên ba đường thẳng AM, MC, CK. 
Khi đó I, B, K thẳng hàng khi và chỉ khi 
Mà ; 
Từ đó ta có: 
Vậy điểm K thuộc cạnh AC sao cho 
N
Cách khác câu 5: (giải theo CT lớp 9)
Kẻ MN // BK , N thuộc AC
Theo định lí Talet trong tam giác CBK ta có: 
Theo định lí Talet trong tam giác AMN ta có: 
Từ đây suy ra: 
Mà 
Suy ra: ------------ Hết ----------