Đề thi học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2021-2022

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THÀNH PHỐ QUẢNG NGÃI 
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ 
NĂM HỌC 2021 - 2022 
Môn thi: Toán - Lớp 9 
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng 
Ngãi.Điện thoại : 0708127776 
Bài 1. (4,0 điểm) 
1) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn: 6x + 5y – 2xy + 30 = 0. 
2) Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố khác nhau (a; b; c) sao cho 
1 1 1 1
bc ac ab 3
   . 
Bài 2. (4,0 điểm) 
1) Giải phương trình: 24 x 1 x 5x 14    . 
2) Cho biểu thức: M = 
1a
a
 +
1

a a
a a
 + 
2 1  

a a a a
a a a
. (với a > 0, a 1) 
Chứng minh rằng M > 4. 
Bài 3. (4,0 điểm) 
1) Giải hệ phương trình 
4 4 4
x y z 1
x y z xyz
  

  
. 
2) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn 
2 2x y 4  . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2
1 1
E x y
y x
   
     
  
. 
Bài 4. (5,0 điểm) 
Cho (O;R), trên (O;R) lấy hai điểm A và H sao cho AH < R. Gọi a là tiếp tuyến tại H của (O). Trên 
a lấy hai điểm B và C sao cho H nằm giữa B, C và AB= AC = R. Từ H lần lượt vẽ HM  OB (MOB) và 
HNOC (NOC). 
1. Chứng minh rằng OB.OM = OC. ON và MN là trung trực của OA. 
2. Chứng minh: OB.OC = 2R2. 
3. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi. 
Bài 5. (3,0 điểm) 
 1. Cho hình vuông ABCD có AC = a. Qua đỉnh A kẻ đường thẳng cắt cạnh BC ở E và cắt đường 
thẳng CD ở F. Tính giá trị biểu thức 
2 2
1 1
AE AF
 theo a. 
 2 Cho hình chữ nhật có kích thước 3cm x 4cm như hình vẽ. (Chia thành 12 hình vuông có diện tích 
bằng nhau). 
Chứng minh rằng với 6 điểm bất kì thuộc hình chữ nhật đó luôn có ít nhất 2 điểm mà khoảng cách giữa hai 
điểm đó không lớn hơn 5 cm. 
------ HẾT ------ 
Họ và tên thí sinh: .................................................................................................. SBD ........................................... 
Chữ kí giám thị: 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THÀNH PHỐ QUẢNG NGÃI 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ 
NĂM HỌC 2021-2022. Môn thi : Toán - Lớp 9 
Bài 1. (4,0 điểm) 
1) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn : 6x + 5y – 2xy + 30 = 0 
2) Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố khác nhau (a,b,c) sao cho 
1 1 1 1
bc ac ab 3
   
BÀI GIẢI 
1) 2đ 
Ta có: 6x + 5y – 2xy + 30 = 0 
  2xy – 6x – 5y + 15 = 45  (2x – 5)(y – 3) = 45 
+ Với x = 1, x = 2 thì y không nguyên dương. 
+ Với x > 2 suy ra 2x – 5 > 0 nên y – 3 > 0. 
Mà 45 =1.45 = 3.15 = 5.9 
 (x; y) = (3; 48) , (25; 4), (4; 18), (10; 6), (5; 12), (7; 8). 
2) 2đ 
Ta có 
1 1 1 1
bc ac ab 3
    abc = 3(a + b + c) 
Giả sử 2 a b c   . Vì a.b.c = 3(a + b + c) 3abc 
Mà a, b, c nguyên tố nên một trong ba số a, b, c phải có một số chia hết cho 3. 
Giả sử 3b và b nguyên tố nên b = 3 
3a 3( 3) 3
( 1)( 1) 4 1 1 , 1 4
2; 5
       
        
  
c a c ac a c
a c a c
a c
Vậy (a; b; c) = (2; 3; 5). 
Hoán vị bộ 3 số này ta có tất cả 6 bộ số khác nhau thoả mãn điều kiện 
a.b.c = 3(a + b + c) 
Bài 2: (4,0 điểm) 
1) Giải phương trình: 24 1 5 14x x x    
2) Cho biểu thức M = 
1a
a
 +
1

a a
a a
 + 
2 1  

a a a a
a a a
 với a > 0, a 1 
Chứng minh rằng M > 4. 
BÀI GIẢI 
1) (2đ) 24 1 5 14x x x    ( 1 ) Điều kiện: x  –1. 
(1)  (x2 – 6x + 9 ) + ( x + 1– 4 1x  + 4) = 0 
 ( x – 3)2 + ( 1x  – 2)2 = 0 
 
2
2
( 3) 0
( 1 2) 0
x
x
  

  
  
3 0
1 2 0
x
x
 

  
 
3
1 2
x
x


 
  
3 3
1 4 3
x x
x x
  
 
   
 (TM ĐK) 
Vậy phương trình có 1 nghiệm là x = 3. 
2) 2đ 
 ĐK: a > 0, a ≠ 1 
Ta có: 
1 ( 1)( 1) 1
( 1)
     
 
 
a a a a a a a
a a a a a
Và 
2 1 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) 1
(1 ) (1 )
            
  
  
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a
 M = 
1 1 1 1
2
      
   
a a a a a a
a a a a
 .Ta có 
 
2
1 0 1 2    a a a
 M >
2 a
a
 + 2 = 4
Bài 3: (4,0đ) 
1. Giải hệ phương trình 
4 4 4
x y z 1
x y z xyz
  

  
. 
2. Cho x, y là hai số dương thỏa mãn 2 2x y 4  . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2
1 1
E x y
y x
   
      
  
. 
BÀI GIẢI 
1) 2đ 
Ta có: 
4 4 4 4 4 4
4 4 4
2 2 2
x y y z z x
x y z
  
      2 2 2 2 2 2x y y z z x  
= 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
x y y z y z z x z x x y
xyyz yzzx zxxy
  
     
= xyz (x + y + z) = xyz ( vì x + y + z = 1). 
Dấu bằng xảy ra 
1
1 3
x y z
x y z
x y z
 
    
  
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  
1 1 1
; ; ; ;
3 3 3
 
  
 
x y z
2) (2đ) Ta có: 
2 2
1 1
E x y
y x
   
      
  
= 
2 2
2 2
1 1 x y
(x y ) 2
x y y x
   
       
   
2
2 2
4 8 1
4 4 1
x y xy xy
 
     
 
Vì 2 2
1 1
x y 2xy 4 2xy
xy 2
      E 9  
Vậy giá trị nhỏ nhất của E bằng 9 khi x y 2  
 Bài 4: (5đ) Cho (O;R), trên (O;R) lấy hai điểm A và H sao cho AH < R. Gọi a là tiếp tuyến tại H 
của (O). Trên a lấy hai điểm B và C sao cho H nằm giữa B, C và AB= AC = R. Từ H lần lượt vẽ 
HM OB (MOB) và HNOC (NOC). 
a) Chứng minh rằng OB.OM = OC. ON và MN là trung trực của OA. 
b) Chứng minh: OB.OC = 2R2. 
c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi. 
BÀI GIẢI 
E
N
M
B
C
O
A
H
1.Ta có OHBC (t/c tiếp tuyến). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OHB và tam giác 
vuông OHC ta có: 
OB.OM = OH
2
 (1) 
OC.ON = OH
2
 (2) 
Từ (1) và 2) ta suy ra OB.OM = OC.ON 
*Ta có OM.OB= OH
2
 =OA
2
 ( vì OH= OA) suy ra 
OM OA
OA OB
 
Xét OMA và OAB có 
Ô là góc chung 
OM OA
OA OB
 (cmt) 
Suy ra OMA OAB (c-g-c) OAM OBA  
Lại có AO = AB (gt) suy ra OAB cân tại A 
AOB OBA
AOM OBA
 
 
Suy ra OAM AOM OMA  cân MO MA  . 
Chứng minh tương tự ON = OA 
Vậy MN là đường trung trực của OA. 
2. Gọi E là giao điểm của OA với MN. 
Ta có OB.OM = OC.ON suy ra 
OM OC
ON OB
 
Xét OMN và OCB có 
Ô chung 
OM ON
OC OB
 
Suy ra OMN OCB (c-g-c) OME OCB  
Vì OEMN và OHBC nên EMO HCO (g-g) 
OM OE
OC OH

1 1
2 2 2
OM OE OE
OM OC
OC OA OE
      
Ta có OB.OM =OH
2
= R
2
(cmt). Suy ra 2 2
1
. . 2
2
OB OC R OB OC R   
3. Ta có OMN OCB (cmt). Suy ra 
 
2 2 2
22 2
1
42
OMN
OCB
S OE OE OE
S OH OA OE
    
Nên   2
1 1 1 1 1 1 1
. . . ( )
4 4 2 8 8 8 4
OMN OCBS S OH BC R BC R AB AC R R R R        
Dấu “=” xảy ra khi A, B,C thẳng hàng H A  
Vậy diện tích tam giác OMN lớn nhất là 2
1
4
OMNS R khi H A 
Bài 5: (3 điểm) 
5.1 Cho hình vuông ABCD có AC = a. Qua đỉnh A kẻ đường thẳng cắt cạnh BC ở E và cắt đường 
thẳng CD ở F. Tính giá trị biểu thức 
2 2
1 1
AE AF
 theo a. 
2 Cho hình chữ nhật có kích thước 3cm x 4cm như hình vẽ. (Chia thành 12 hình vuông có diện tích 
bằng nhau). 
Chứng minh rằng với 6 điểm bất kì thuộc hình chữ nhật đó luôn có ít nhất 2 điểm mà khoảng cách 
giữa hai điểm đó không lớn hơn 5 cm. 
.BÀI GIẢI 
5.1 
a
E
C
B
D
A
G F
Qua A dựng AG AF ( G CD ). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AGF vuông tại A, đường 
cao AD. Ta có 
2 2 2
1 1 1
 (1)
AG AF AD
  
Chứng minh (g-c-g)BAE DAG   suy ra AE = AG (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
 = 
AG AF AE AF AD
   
Mà 
2 2 2
1 2 2
2
AC
AD
AD AC a
    . Vậy
2 2 2
1 1 2
 = 
AE AF a
 . 
5.2 Chia hình vuông thành 5 hình như hình vẽ 
Theo Nguyên lí Đi – rích- lê thì tồn tại ít nhất 2 điểm thuộc một trong 5 hình trên mà khoảng cách giữa hai 
điểm bất kì thuộc một trong 5 hình đó có khoảng cách không lớn hơn 5 cm. 
Vậy trong 6 điểm đó sẽ có ít nhất 2 điểm mà khoảng cách giữa hai điểm đó không lớn hơn 5 cm