Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố lớp 9 -THCS (năm 2014 - 2015) môn Toán - Thời gian làm bài: 150 phút

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 
Bài 1: (3 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:   
1
a b c
abc
. 
Chứng minh rằng: 
   
 

2 2 2 2
2 2 2 2
1 b c 1 a c
a b
c a b c
Bài 2: (5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình: 
 a)    22x x 3 3x x 3
 b) 
  

  
2
y 2 x 1
x y x y
Bài 3: (2 điểm) Qua điểm M thuộc cạnh BC của tam giác ABC kẻ các đường thẳng song song với 
các cạnh AB và AC, chúng tạo thành với hai cạnh ấy một hình bình hành. Tìm vị trí của M để 
hình bình hành đó có diện tích lớn nhất. 
Bài 4: (4 điểm) 
a) Cho hai số dương x, y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 

 

2
x 12
P
x y
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức:      2 22x y 3xy 3x 2y 2 0 
Bài 5: (4 điểm) 
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BD, CE của tam giác 
ABC cắt nhau tại H. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt (O) tại điểm K khác A. Chứng 
minh rằng: 
a) KH đi qua trung điểm M của cạnh BC.
b) BC là tiếp tuyến chung của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BHK và CHK.
Bài 6: (2 điểm) 
Theo quyết định Bộ Công Thương ban hành, giá bán lẻ điện sinh hoạt từ 16/3 sẽ dao động trong 
khoảng từ 1484 đến 2587 đồng mỗi kWh tùy bậc thang. Dưới đây là bảng so sánh biểu giá điện 
trước và sau khi điều chỉnh: 
Mức sử dụng trong tháng 
(kWh) 
Giá mới Giá hiện tại 
0 – 50 1484 1388 
51 – 100 1533 1433 
101 – 200 1786 1660 
201 – 300 2242 2082 
301 – 400 2503 2324 
401 trở lên 2587 2399 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ 
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 9 – THCS (NĂM 2014 – 2015) 
MÔN TOÁN 
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút 
Ngày thi: 24/3/2015 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 
a) Nếu hộ A trung bình mỗi tháng tiêu thụ 120kWh thì theo giá mới số tiền phải trả tăng lên
bao nhiêu trong 1 tháng?
b) Hộ B trong tháng 2 đã trả tiền sử dụng điện là 194170 đồng. Hỏi lượng điện mà hộ B tiêu
thụ trong tháng 2 là bao nhiêu?
c) Giả sử hộ C trong nửa tháng đầu được tính theo giá cũ, trong nửa tháng sau được tính theo
giá mới với mức sử dụng thực tế (bao gồm cả nửa tháng đầu) và lượng điện tiêu thụ ở mỗi
nửa tháng là bằng nhau. Số tiền cuối tháng hộ C phải trả là 116350. Hỏi lượng điện mà hộ
C tiêu thụ trong tháng là bao nhiêu? Biết rằng lượng điện tiêu thụ không vượt quá
100kWh
   HẾT   
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 
Hướng dẫn giải
Bài 1: (3 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:   
1
a b c
abc
. 
Chứng minh rằng: 
   
 

2 2 2 2
2 2 2 2
1 b c 1 a c
a b
c a b c
Ta có:  
1
1a b c abc a b c
abc
      
Do đó:      2 2 2 21 b c abc a b c b c bc a a b c bc bc a a b ca bc                  
      bc a a b c a b bc a b a c        
Tương tự:      2 2 2 21 1a c ac a b b c ; a b ab a c b c       
Do đó: 
     
 
     
  
 
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 22 2 2
1 1 1 1
1
b c a c b c a c bc a b a c ac a b b c
a b a b
c a b c c ab a c b cc a b
       
     
  
Bài 2: (5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình: 
 a)    22x x 3 3x x 3
Điều kiện: 3x   . Ta có:
   
2 22 3 3 3 2 3 2 3 3 0
2 3 3 2 3 0
x x x x x x x x x x
x x x x x x
           
       
   2 3 02 3 3 0
3 0
x
x x x x
x x
   
       
   
3
3
x
x x
  
 
  
22
22
0 0
4 3 03
3 03
x x
x xx
x xx x
  
 
     
      
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ 
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 9 – THCS (NĂM 2014 – 2015) 
MÔN TOÁN 
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút 
Ngày thi: 24/3/2015 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 
0
3
1
4
1 13 1 13
2 2
x
x hoặc x
x hoặc x
 

    

   
1
1 13
2
x
x
 
  

Vậy 
1 13
1
2
S
 
 
  
 b) 
  

  
2
y 2 x 1
x y x y
Điều kiện: 1x ;x y.  
   
2
2 22
2 12 12
1 1 2 1 12 1 2 1
y x
y xy x
x y x y x x xx x x x
       
  
               
Cách 1: 
    2
2
1 1 1 9 0
y x
x x x
 
 
       
  3 2
2
1 1 9 0
x
x x x x
 
 
     
  3 2 2
2
1 2 3 6 5 10 0
x
x x x x x x
 
 
          
2
2
1 2 3 5 0
x
x x x x
 
 
    
  
2
2 1
3 11
1 2 0
2 4
y x
x x x
  
   
      
    
2 1
1
2
y x
x
x
  

  


1
2 2
x ;y
x ;y
 
 
 
Cách 2: 
       2
1
1 1 2 3 5 0 3 5 0
2
x
x x x x vì x x
x
 
         

 
 
1
0
2
2
x
nhận
y
x
nhận
y
 


 
 
 
Vậy nghiệm  x;y của hệ phương trình là    1 0 2 2; ; ;
Bài 3: (2 điểm) Qua điểm M thuộc cạnh BC của tam giác ABC kẻ các đường thẳng song song với 
các cạnh AB và AC, chúng tạo thành với hai cạnh ấy một hình bình hành. Tìm vị trí của M để 
hình bình hành đó có diện tích lớn nhất. 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 
D
E
A
B CM
Tứ giác MDAE có MD // AC, ME // AB. Do đó: tứ giác MDAE là hình bình hành 
Xét DBM và ABC có:
 BDM BAC đồng vị, MD // AC
DBM chung
 


 DBM ABC g g  ∽
2
DBM
ABC
S BM
S BC

  
 
 (1) . Tương tự: 
2
EMC
ABC
S CM
S BC

  
 
(2) 
Từ (1) và (2) cộng vế theo vế, ta được: 
2 2 2
1
2 2
EMCDBM
ABC ABC
SS BM CM BM CM
S S BC BC BC BC
     
          
     
1
2 2
DBM EMC ABC MDAE
ABC ABC
S S S S
S S

   
1
1
2 2
MDAE
MDAE ABC
ABC
S
S S
S
     , không đổi. 
Dấu “=” xảy ra 
BM CM
BM CM
BC BC
     M là trung điểm của BC.
Vậy khi M là trung điểm của cạnh BC thì diện tích hình bình hành MDAE lớn nhất và bằng 
1
2
ABC
S
Bài 4: (4 điểm) 
a) Cho hai số dương x, y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 

 

2
x 12
P
x y
Cách 1: 
   2 2 2 22 2 2 1 32 2 1212 12 4 4x xy y x xy yx x xy y
P
x y x y x y
     
   
   
  
 
 
 
2
3 12
44
x y
x y
x yx y

   

 
3 12
0 2 2 3 6
4
x y . .
x y
    

Dấu “=” xảy ra khi  
0
3 12
4
0
x y
x y
x
x,y
  


 

 
2x y  
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 6 2x y  
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 
Cách 2: 
2 2 212 12x x xy y
P
x y x y
   
  
 
 (1) 
Ta có:    
2 22 2 2 2 2 23 4 4 4 3 6 3 0
4
x xy y x y x xy y x xy y x y : luôn đúng            
Do đó:  
 
 
2 2
2
2 3
4 4
x xy y
x xy y x y x y
x y
 
      

(2) 
Từ (1) và (2), ta có:  
3 12
4
P x y
x y
  

Áp dụng BĐT Cô –si cho hai số dương, ta được: 
 
 
3 12
6 6
4
x y P
x y
    

Dấu “=” xảy 
 
23 12
4
x y
x y
x y
x y
 

   
  
Vậy GTNN của P là 6 khi 2x y 
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức:      2 22x y 3xy 3x 2y 2 0 
Cách 1: 
2 2 2 22 3 3 2 2 0 2 2 2 1 1x y xy x y x xy x xy y y x y                
     2 1 1 1 1x x y y x y x y             1 2 1 1x y x y      
1 1 2 1 1
1 1 2 1 1
x y , x y
x y ; x y
       
 
      
2 1 1 2 3 1 2 4
2 1 1 2 1 1 2 2
x ;x y x ; y x ;y
x ;x y x ; y x ;y
             
    
              
Vậy các cặp số nguyên  x;y cần tìm là:    2 4 2 2; ; ; 
Cách 2:  2 2 2 22 3 3 2 2 0 3 12 2 3 2 0x y xy x y y x y x x            
   
2 2 2 2 23 2 4 2 3 2 9 12 4 8 12 8 4x x x x x x x x             
Để phương trình có nghiệm nguyên thì  là số chính phương, nên ta đặt:
    2 2 24 2 2n k k N n n k       
Ta có bảng sau: 
x k 1 4 4 1 2 2
x k 4 1 1 4 2 2
x 5
2
 (loại) 
5
2
 (loại) 
5
2
 (loại)
5
2
 (loại)
2 2
y 4 2 
Vậy các cặp nghiệm số nguyên (x;y) cần tìm là:    2 4 2 2; ; ; 
Bài 5: (4 điểm) 
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BD, CE của tam giác 
ABC cắt nhau tại H. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt (O) tại điểm K khác A. Chứng 
minh rằng: 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 
M
K
F
H
E
D
O
B C
A
a) KH đi qua trung điểm M của cạnh BC.
Vẽ đường kính AF của đường tròn (O). 
Ta có: 
090ABF ACF  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AF)
Xét tứ giác ADHE, ta có: 
0 0 090 90 180ADH AEH    
 Tứ giác ADHE nội tiếp (). Mà 090ADH . Nên AH là đường kính của đường tròn
ngoại tiếp ADE 090AKH 
Ta có:  090AKH AKF   Tia KH trung tia KF.  K, H, F thẳng hàng. (1)
Ta có: 
 
 
BH // CF AB
BH // FC AC
 


 Tứ giác BHCF là hình bình hành () 
 HF đi qua trung điểm M của BC.
H,F,M thẳng hàng. (2)
Từ (1) và (2) ta có: K,H,F,M thẳng hàng. 
Vậy KH đi qua trung điểm M của cạnh BC. 
b) BC là tiếp tuyến chung của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BHK và CHK.
Ta có: 
 
Hai góc nội tiếp cùng chắn BKF BCF( )
HBC BCF so le trong và BH // FC
BF
 


BKF HBC 
 BC là tiếp tuyến của đường tròn (BHK) (3)
Ta có: 
 
Hai góc nội tiếp cùng chắn CKF CBFF( )
HCB CBF so le trong và BF // CH
CF
 


CKF HCB 
 BC là tiếp tuyến của đường tròn (CHK) (4)
Từ (3) và (4) ta suy ra đpcm. 
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 
Bài 6: (2 điểm) 
Theo quyết định Bộ Công Thương ban hành, giá bán lẻ điện sinh hoạt từ 16/3 sẽ dao động trong 
khoảng từ 1484 đến 2587 đồng mỗi kWh tùy bậc thang. Dưới đây là bảng so sánh biểu giá điện 
trước và sau khi điều chỉnh: 
Mức sử dụng trong tháng 
(kWh) 
Giá mới Giá hiện tại 
0 – 50 1484 1388 
51 – 100 1533 1433 
101 – 200 1786 1660 
201 – 300 2242 2082 
301 – 400 2503 2324 
401 trở lên 2587 2399 
a) Nếu hộ A trung bình mỗi tháng tiêu thụ 120kWh thì theo giá mới số tiền phải trả tăng lên bao
nhiêu trong 1 tháng? 
Hộ A theo giá mới, số tiền phải trả tăng lên trong 1 tháng là: 
(1484 - 1388).50 + (1533 - 1433).50 + (1786-1660).20 = 12320 (đồng) 
b) Hộ B trong tháng 2 đã trả tiền sử dụng điện là 194170 đồng. Hỏi lượng điện mà hộ B tiêu thụ
trong tháng 2 là bao nhiêu? 
Tháng 2 nên hộ B trả tiền theo giá hiện tại. 
Lượng điện mà hộ B tiêu thụ trong tháng 2 là: 
         194170 1388.50 1433.50 :1660 50 50 132 kWh
c) Giả sử hộ C trong nửa tháng đầu được tính theo giá cũ, trong nửa tháng sau được tính theo giá
mới với mức sử dụng thực tế (bao gồm cả nửa tháng đầu) và lượng điện tiêu thụ ở mỗi nửa tháng 
là bằng nhau. Số tiền cuối tháng hộ C phải trả là 116350. Hỏi lượng điện mà hộ C tiêu thụ trong 
tháng là bao nhiêu? Biết rằng lượng điện tiêu thụ không vượt quá 100kWh. 
Gọi lượng điện mà hộ C tiêu thụ trong tháng là 2x (kWh) (Điều kiện 0 < x < 50) 
Số tiền nửa tháng đầu hộ C phải trả là: 1338.x (đồng) 
Số tiền nửa tháng sau hộ C phải trả là:           1484. 50 x 1533 x 50 x 1582x 2450 (đồng) 
Theo đề bài ta có phương trình: 
 
  

 
1388x 1582x 2450 116350
2970x 118800
x 40 nhận
Vậy lượng điện mà hộ C tiêu thụ trong tháng là 40.2 = 80 (kWh) 
   HẾT  