Đề thi giao lưu học sinh giỏi lớp 7 năm học 2015- 2016 môn: Toán 7

Phòng giáo dục- đào tạo 
.
 Đề chính thức
Đề thi giao lưu học sinh giỏi lớp 7
Năm học 2015- 2016
 Môn : toán 7 (Thời gian làm bài 120 phút) 
 Ngày thi: 29 tháng 02 năm 2016
Bài 1: (6 điểm): Tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức sau: 
 1) A =
 2) B = 
 3) Cho x, y, z 0 và x – y – z = 0 .Tớnh B = 
Bài 2: (4 điểm) 	
Tìm x biết: 
Tìm 3 số x; y; z biết: và 5z – 3x – 4y = 50
Bài 3: (3 điểm)
 1) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A=
 2) Tỡm số nguyờn , sao cho: – + = 0
Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC cân (AB = AC ; góc A là góc tù). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Trên tia đối của CA lấy điểm I sao cho CI = CA.
 1) Chứng minh:
	a) 
 b) AB + AC < AD + AE
 2) Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB; AI theo thứ tự tại M; N. Chứng minh BM = CN.
 3) Chứng minh rằng chu vi tam giác ABC nhỏ hơn chu vi tam giác AMN.
Bài 5: (1 điểm) 
 Tỡm số tự nhiờn n cú 2 chữ số biết rằng 2 số 2n +1 và 3n + 1 đồng thời là số chớnh phương
--------------Hết----------------
Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
Họ và tờn thớ sinh: .................................................................Số bỏo danh:.......................
Giỏm thị (Họ tờn và ký)..............................................................................................................
BÀI
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU TOÁN 7 
Điểm
Bài 1
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
B= 
= 
= 6. 
= .
= 
= = 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
Ta có: B = 
 B= (1)
 Mà (2)
Từ (1) và (2) Suy ra : B= 1
0,5
1
0,5
Bài 2
 Do 
 Vậy 
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
2) Ta cú =
Vậy x = 5; y = 5 và z = 17
1
0,75
0,25
Bài 3
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A= 
 A= 
 A= 
Đặt B= do Với mọi giỏ trị của x
 Mà tử là một số dương khụng đổi mẫu số đạt GTNN bằng 2018 dấu “=” xẩy ra khi 
Vậy B đạt GTLN bằng mà 1 là số dương khụng đổi A=1-B đạt GTNN MinA= 1-=
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
 – + = 0
 – 1 – + 2 = –1
 ( – 1) ( – 2) = –1
Vỡ , Z nờn ( – 1) và ( – 2) Z 
TH 1: ( Thỏa món )
TH 2: ( Thỏa món )
Vậy (;) = ( 1;1), (0;0)
0,25
0,5đ
0,25
0,25
0,25đ
4
1): mỗi câu cho 1 điểm
	Câu a: 
 Chứng minh ABD=ICE (c-g-c)
	Câu b: 
có AB + AC = AI
Vì ABD= ICEAD=EI (2 cạnh tương ứng)
áp dụng bất đẳng thức tam giác trong có:
 AE + EI > AI hay AE + AD > AB + AC
1,5
0,75
0,75
 2) 
Chứng minh BDM = CEN (gcg)
	 BM = CN
1
3) 
Vì BM = CN AB + AC = AM + AN (1)
có BD = CE (gt) BC = DE
Gọi giao điểm của MN với BC là O ta có:
Từ (1) và (2) chu vi ABC nhỏ hơn chu vi AMN
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
5
Vỡ n là số tự nhiờn cú 2 chữ số 100. Do đú 212n +1201 (1)
Mặt khỏc 2n + 1 là số chớnh phương lẻ (2) 
Từ (1) và (2) 2n + 1 {25; 49; 81; 121; 169}
 n {12; 24 ; 40 ; 60 ; 84}
Do đú 3n +1 {37; 73; 121; 181; 253}
Trong cỏc số trờn chỉ cú 121 = 112 là số chớnh phương .
Vậy số tự nhiờn cú 2 chữ số cần tỡm là 40	
0,25
0,25
0,25