Đề thi chọn học sinh năng khiếu lớp 8 năm học 2015 – 2016 môn thi: Toán thời gian làm bài 120 phút (không kể giao đề)

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài 120 phút (không kể giao đề)
Câu 1: (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng số có dạng n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n N và n >1
không phải là số chính phương.
b) Cho = 21 + 22 + 23 +  + 230. Chứng minh rằng: chia hết cho 21.
Câu 2: (4,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức sau: . 
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 
Câu 3: (4,0 điểm)
a) Chứng minh: 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x - 4y + 2016 
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho góc IOM = 90O (I và M không trùng các đỉnh của hình vuông).
a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.
b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia OM. Chứng minh tứ giác IMNB là hình thang và góc BKM = góc BCO. 
c) Chứng minh . 
Câu 5: (2,0 điểm)
	Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5. 
	Chứng minh rằng: a2 + b2 1 + ab
-----------------------Hết -------------------------
Họ và tên thí sinh: . Số báo danh ..............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: Toán
Câu 1: (4,0 điểm)
a.
2.0đ
n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 = 
= n2. (n4 - n2 + 2n +2) = n2. [n2(n - 1)(n + 1) +2(n + 1)]
= n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)]
 = n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2)
Với nN, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2
Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2
Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + 2 < n2 
n2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương
n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 không phải là một số chính phương
0.5
0.5
0.5
0.5
b.
2.0đ 
B = 21 + 22 + 23 +  + 230
Ta có: B = 21 + 22 + 23+  + 230 
 = (21 + 22) + (23 + 24) +  + (229 + 230)
 = 2.(1+2) + 23.(1+2) +  + 229.(1+2)
 = 3.( 2 + 23 ++ 229) suy ra B 3 (1) 
 Ta có: B = 21 + 22 + 23+  + 230 
 = (21 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) +  + (228 +229 + 230)
 = 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) +  + 228.(1+2+22)
 = 7 (2 + 24 +  + 228) suy ra B 7 (2)
 Mà 3 và 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau. Kết hợp với (1) và (2) suy ra :
 B 3.7 hay B 21 
0.75
0.75
0.5
Câu 2: (4,0 điểm)
a) ĐK: 
0.25
Ta có 
0.25
0.25
0.5
0.5
Vậy với .
0.25
b) Ta có (1)
0.5
 (2)
0.5
Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1
0.25
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được
x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: (-1 ; 0)
0.5
KL
0.25
Câu 3: (4,0 điểm)
a
a2 + 5b2 – (3a + b) 3ab – 5 
2a2 + 10b2 – 6a -2b – 6ab +10 0
a2 – 6ab +9b2 + a2 – 6a + 9 + b2 - 2b +1 0
(a – 3b)2 +(a - 3)2 + (b – 1)2 0 . 
Dấu « = » xảy ra khi a = 3 ; b = 1
0,5
0,5
0,5
0,5
b
Ta có: A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x - 4y + 2016 
 = x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1 + y2 - 6y + 9 + 2006 
 = (x + y + 1)2 + (y - 3)2 + 2006
Nhận thấy với mọi x,y ta có .
Suy ra A 2006
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 2006 đạt được khi 
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 4: (6,0 điểm)
Xét và có:
 IBO = MCO = 45O
 BO = CO ( t/c đường chéo hình vuông)
 BOI =COM( cùng phụ với BOM)
 = (g.c.g)
1,0
 mà 
Hay 
1,0
Ta có CM = BI ( vì =)
 BM = AI
Vì CN // AB nên 
IM // BN ( Định lí Talet đảo)
Hay IMNB là hình thang
1,0
Vì OI = OM ( vì =) 
cân tại O IMO =MIO = 45O
Vì IM // BN IM // BK 
BKM =IMO = 45O( sole trong) => BKM =BCO 
0,5
Qua A kẻ tia Ax vuông góc AN cắt CD tại E .Chứng minh 
Ta có vuông tại A có AD NE nên
1,0
Áp dụng định lí Pitago vào ta có AN2 + AE2 = NE2
1,0
Mà và CD = AD 
0,5
Câu 5: (2,0 điểm)
Với 2 số a, b dương:
 Xét: a2 + b2 – ab 1
0,25
(a + b)(a2 + b2 – ab) (a + b) ( vì a + b > 0)
a3 + b3 a + b
0,5
(a3 + b3)(a3 + b3) (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 )
0,5
 a6 + 2a3b3 + b6 a6 + ab5 + a5b + b6
2a3b3 ab5 + a5b
0,25
ab(a4 – 2a2b2 + b4) 0
 đúng a, b > 0 .
Vậy: với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5
0,5