PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7 Năm học 2015 - 2016 Môn: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (4,0 điểm) Cho A = 3 + 32 + 33 + + 32015 + 32016. a) Tính A. b) Tìm chữ số tận cùng của A. c) A có là số chính phương không? Vì sao? Bài 2 (4,0 điểm) a) Tìm x, biết: b) Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 và các mẫu số tương ứng của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2. Câu 3. (3,0 điểm) Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 có đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a). a) Tìm a. b) Với a vừa tìm được, tính giá trị của x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x). Câu 4. (6,0 điểm). Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. Chứng minh: DC = BE và DC BE Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME và ΔABC = ΔEMA Chứng minh: MA BC Câu 5. (3,0 điểm): 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= 2) Tìm số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0 ------------------------- Hết ------------------------ Họ và tên thí sinh: . Số báo danh .............. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7 NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: Toán Bài 1 (4,0 điểm) Câu Nội dung Điểm a/ (1,5 đ) Ta có: A = 3 + 32 + 33 + + 32015 + 32016 3A = 32 + 33 + 34 + + 32016 + 32017 0,5 Suy ra: 3A - A = (32 + 33 + 34 + + 32016 + 32017 )- (3 + 32 + 33 + + 32015 + 32016) 0,5 A = . 0,5 b/ (1,5 đ) Ta có: A = (3 + 32 + 33 + 34) + +(32013 + 32014 + 32015 + 32016) = 3(1 + 3 + 32 + 33) + ... + 32013(1 + 3 + 32 + 33) 0,75 = 3.40 + ... + 32013.40 = 40.(3 + 35 + ... + 32013) 0,5 Suy ra A có chữ số tận cùng là 0 0,25 c/ (1,0 đ) Lập luận được A chia hết cho 3 0,25 Lập luận được A không chia hết cho 32 0,25 Mà 3 là số nguyên tố nên suy ra A không là số chính phương 0,5 Câu 2 (4,0 điểm) Câu Nội dung Điểm a/ (2,0 đ) Lập luận được > 0. 0,5 Nên Þ = 3 Þ 0,75 Þ x -1 = 1 hoặc x – 1 = -1 Þ x = 2 hoặc x = 0. 0,5 Vậy x = 2 ; x = 0 0,25 b/ (2,0 đ) Gọi 3 phân số cần tìm lần lượt là thì ta có và 0,5 Þ Þ 0,75 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: = = Þ 0,5 Vậy 3 phân số cần tìm là . 0,25 Câu 3: (4,0 điểm) a/ (1,5đ) Đồ thị hàm số y = ax + 4 đi qua điểm A(a+1; a2- a) nên có: a2- a = a(a+1) +4. 0,5 Þ a2 - a = a2 +a + 4 Þ a = -2. 0,75 Vậy a = -2 thì đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a). 0,25 b/ (1,5đ) Với a = -2 ta có hàm số y = f(x) = -2x + 4 Þ f(3x- 1) = -6x + 6; f(1- 3x) = 6x + 2. 0,5 Do đó: f(3x- 1) = f(1- 3x) Þ -6x + 6 = 6x + 2 Þ x = . 0,75 Vậy khi x = thì f(3x- 1) = f(1- 3x). 0,25 Câu 4: (6 điểm). a/ Xét ΔADC và ΔBAF ta có: DA = BA(gt) AE = AC (gt) DAC = BAE ( cùng bằng 900 + BAC ) => ΔDAC = ΔBAE(c.g.c ) => DC = BE Xét ΔAIE và ΔTIC I1 = I2 ( đđ) E1 = C1( do ΔDAC = ΔBAE) => EAI = CTI => CTI = 900 => DC BE 2,0 b/ Ta có: ΔMNE = ΔAND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME mà AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1) Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( trong cùng phía ) mà BAC + DAE = 1800 => BAC = AEM ( 2 ) Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3). Từ (1),(2) và (3) => ΔABC = ΔEMA (đpcm) 2,0 c/ Kéo dài MA cắt BC tại H. Từ E hạ EP MH Xét ΔAHC và ΔEPA có: CAH = AEP (do cùng phụ với góc PAE) AE = CA ( gt) PAE = HCA (do ΔABC = ΔEMA câu b) => ΔAHC = ΔEPA => EPA = AHC => AHC = 900 => MA BC (đpcm) 2,0 Câu 5. (3,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= A= A= Đặt B= do Với mọi giỏ trị của x Mà tử là một số dương không đổi mẫu số đạt GTNN bằng 2018 dấu “=” xẩy ra khi Vậy B đạt GTLN bằng mà 1 là số dương không đổi A=1-B đạt GTNN MinA= 1-= 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x – 2xy + y = 0 2x – 1 – 4xy + 2y = –1 (2x – 1) (1 – 2y) = –1 Vì x, y Z nên (2x – 1) và (1 – 2y) Z TH 1: ( Thỏa mãn ) TH 2: ( Thỏa mãn ) Vậy (;) = ( 1;1), (0;0) 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 ------------------------- Hết -------------------------
Tài liệu đính kèm: