Đề thi chọn hoc sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm 2021 (Có đáp án)

MÃ KÍ HIỆU
ĐỀ THI CHỌN HOC SINH GIỎI 
Năm học: 2021
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm 04 câu trong 01 trang
Câu 1. (4,0 điểm)
 1.Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
 2. Rút gọn biểu thức sau: . 
Câu 2. (4,0 điểm)
Giải phương trình sau
 2 +2 = 4 
 2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 
Câu 3. (4,0 điểm)
Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho dư 10, f(x) chia cho dư 24, f(x) chia cho được thương là và còn dư. 
Chứng minh rằng: 
Câu 4. (7,0 điểm) 
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.
1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng: AC = 2EF.
3. Chứng minh rằng: .
Câu 5. (1,0 điểm)
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
---------------Hết----------------
MÃ KÍ HIỆU
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm 2021
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Câu 1
Hướng dẫn giải
(4.0 điểm)
1
(2.0 điểm)
Ta có :
 =
0,5
 = 
0.5
 = 
0.5
Kết luận : 
0.5
2 
(2.0 điểm)
ĐK: 
0.25
Ta có 
0.25
0.25
0.5
0.5
Vậy với .
0.25
Câu 2
(4.0 điểm)
1 
(2.0 điểm)
Đặt: 
0.25
Phương trình đã cho trở thành:
0.5
Khi đó, ta có:
0.5
.
0.5
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x
.
0.25
2
(2.0 điểm)
Ta có (1)
0.5
 (2)
0.5
Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1
0.25
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được
x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là:
 (-1 ; 0) ,(1;2)
0.5
KL.
0.25
Câu 3
(4 điểm)
1
(2.0 điểm)
Giả sử f(x) chia cho được thương là và còn dư là .
Khi đó: 
0.5
Theo đề bài, ta có:
0.5
Do đó: 
0.5
Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: 
0.5
2
(2.0 điểm)
Ta có: 
Đặt:
0.25
Khi đó, ta có: 
0.5
0.5
0.25
 (đpcm)
0.25
KL:.
0.25
Câu 4
(7 điểm)
1
(2,5 điểm)
Ta có góc DAM = góc ABF ( cùng phụ với góc BAH
 AB = AD ( gt) 
 góc BAF = góc ADM = 90 0 (ABCD là hình vuông) 
 (g.c.g) 
0,75
 => DM=AF, mà AF = AE (gt) 
 Nên. AE = DM 
 Lại có AE // DM ( vì AB // DC )
0.5
Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành
Mặt khác góc DAE = 90 0 (gt) 
0.75
Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật
0.5
2
(2,5 điểm)
Ta có (g.g) 
 hay ( AB=BC, AE=AF) 
0.75
Lại có Lại có góc HAB = góc HBC ( cùng phụ với góc AB)
 (c.g.c)
0.75
, mà (gt) nên BC2 = (2AE)2
 BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD 
0.5
Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm)
0.5
3
(2.0 điểm)
Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: 
0.5
Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:
 hay 
0.5
 (Pytago) 
0.5
 (đpcm)
0.5
Câu 5
(1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
*) x2 - 2x +1 = (x-1)2 ≥ 0 Þ x2 -2x +3 ≥ 2 mọi x Î R (1)
 y2 + 6y +9 = (y+3)2 ≥ 0 Þ y2 + 6y + 12 ≥ 3 mọi y Î R (2)
0,25
 = (x2 - 2x)( y2 + 6y) + 12(x2 - 2x) + 3(y2 + 6y) + 36 + 2015
 = (x2 - 2x)( y2 + 6y + 12) + 3(y2 + 6y +12) + 2015
 = (x2 - 2x + 3)( y2 + 6y + 12) + 2015 (3)
0,25
Từ (1) ; (2) và (3) Þ B ≥ 2.3 + 2015 Þ B ≥ 2021
0,25
B = 2021 Û x = 1 và y = -3
Vậy Min B = 2021 Û x = 1 và y = - 3
0,25
Lưu ý khi chấm bài:
Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.
 .. Hết..