Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

MÃ KÍ HIỆU
.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học 2020-2021
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 150 phút )
(Đề thi gồm 5câu, 01 trang)
Câu 1(5điểm):
1) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 
b) 2x3 - 5x2 + 8x -3
2) Xác định các hệ số a,b, c sao cho đa thức f(x) = 2x4 + ax2 + bx + c chia hết cho đa thức x - 2 và khi f(x) chia cho x2 - 1 thì được phần dư là x.
Câu 2(4điểm):
a) Cho M= a4-16a4- 4a3 + 8a2-16a + 16
Rút gọn M rồi tìm giá trị nguyên của a để M có giá trị nguyên.
b) Cho ba số a,b,c khác 0 thỏa mãn : a+b+c1a+1b+1c=1
Tính giá trị của biểu thức A = (a25 + b25) (b5 + c5)(a2021 + c2021)
Câu 3(5điểm):
1) Giải các phương trình sau:
a)
b)
2) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
	Trong ba cái bình có đựng nước. Nếu ta rót lượng nước từ bình thứ nhất sang bình thứ hai, rồi rót lượng nước hiện có ở bình thứ hai sang bình thứ ba và cuối cùng rót lượng nước ở bình thứ ba sang bình thứ nhất thì trong mỗi bình có 9 lít nước. Hỏi lúc đầu mỗi bình có bao nhiêu lít nước.
Câu 4(5điểm): 
1) Cho hình thang ABCD có AB là đáy nhỏ. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Đường thẳng qua O và song song với CD lần lượt cắt AD và BC tại E và F.
	a) Chứng minh OE = OF
	b) Cho ; .Tính diện tích hình thang ABCD theo a và b.
2) Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD; BM; CN. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: 
Câu 5(1điểm): Cho a, b, c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
--------------Hết------------
MÃ KÍ HIỆU
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học 2020 -2021
MÔN: TOÁN 
 (Hướng dẫn chấm gồm 04trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1
(5 điểm)
Câu1: (3điểm)
a) (1,5điểm) 
Đặt x = a-b; y = b-c; z = c – a, ta có x + y + z =0
0,5
Chứng minh: x3 +y3 +z3 = 3xyz
0,5
= 3(a – b)(b –c )(c - a)
0,5
b. (1,5 điểm)
= 2x3 -x2 -4x2 +2x+6x-3
0,5
= x2(2x-1) - 2x(2x-1) +3(2x-1)
0,5
= (2x-1)(x2 -2x+3)
0,5
Câu 2: (2điểm)
+) f(x) = 2x4 +ax2 +bx +c
Gọi thương của phép chia f(x) cho đa thức x2 -1 là Q(x). Vì f(x) :(x2 -1) có phần dư là x.
Nên ta có: f(x) = (x2-1).Q(x) + x (1) đúng với mọi x.
0,25
+) Với x = 1, thay vào (1) ta có: f(1) = (1-1).Q(1) +1 
hay 2+a+b+c = 1
 a+b+c = -1 (2)
0,25
+) Với x = -1, thay vào (1) ta có f(-1) = (1-1).Q(-1) -1 
hay 2+a-b+c =-1
 a-b+c = -3 (3)
Từ (2) và (3) ta có a + c = -2 c = -2 - a
0,5
+)f(x) chia hết cho đa thức x-2, theo định lý Bơ-du 
ta có f(2) =0
=> 32 +4a+2b+ c = 0 a+b+c+3a+b+32 =0 
 3a+b =-31
 b = -31-3a
0,5
Thay: b = -31-3a; c = -2-a vào (2) ta có a-31-3a-2-a = -1
 -3a = 32 
a=-323; b = 1; c = 263
0,5
2
(4 điểm)
a. (2điểm) 
M = (a2+4)(a-2)(a+2)(a2+4)(a-2)2= a+2a-2(Đkxđ: a≠ 2)
0,5
Ta có a+2a-2=a-2+4a-2=1+4a-2
0,5
Vậy M có giá trị nguyên a - 2 là ước của 4
=> a-2 ∈±1; ±2; ±4
0,5
=> a ∈-2;0;1;3;4;6 thì M có giá trị nguyên 
0,5
b. (2điểm)
Với a,b,c khác 0 
a+b+c1a+1b+1c=1
1a+1b+1c = 1a+b+c
1a+1b=1a+b+c-1ca+bab=c-(a+b+c)c(a+b+c)
0,5
a+bab=-(a+b)c(a+b+c)
 (a+b)(a+b+c).c = -(a+b).ab
 (a+b)( ac +bc +c2 +ab) = 0 (a+b)(b+c)(c+a) =0
0,5
=> a+b = 0 hoặc b+c = 0 hoặc c+a = 0
0,25
+) Nếu a+b = 0 thì a =-b a25 = -b25 a25 + b25 = 0. do đó A = 0
0,25
+) Nếu b + c = 0 thì b = -c b5 = - c5 b5 + c5 = 0
 do đó A = 0
+) Nếu c + a = 0 thì c = - a c2021 = - a2021 
 c2021 + a2021 = 0 do đó A = 0
0,25
Vậy với a,b,c khác 0 thỏa mãn : a+b+c1a+1b+1c=1 thì A = 0
0,25
3
(5điểm)
Câu1: (2điểm)
a.(1điểm)
0,75
Vậy tập nghiệm của phương trình là: 
0,25
b.( 1 điểm)
0,5
0,25
Vậy phương trình có nghiệm là: x = 357
0,25
Câu 2: (3điểm)
Gọi lượng nước ở bình thứ ba trước khi rót sang bình thứ nhất là x lít (x > 0)
0,25
Sau khi rót lít sang bình thứ nhất thì lượng nước còn lại ở bình thứ ba là lít.
0,25
Mà sau khi rót mỗi bình còn lại 9 lít, nên ta có phương trình: 
1
Vậy lượng nước của bình thứ ba trước khi rót sang bình thứ nhất là 10 lít.
0,25
Lượng nước ở bình thứ nhất ban đầu là :
0,5
Lượng nước ở bình thứ hai ban đầu là:
 (l)
0,5
Lượng nước ở bình thứ ba ban đầu là : 9.3 – (12+8)=7 (l)
0,25
4
(5điểm)
Câu 1(3điểm)
a. (1điểm) 
(hệ quả của định lý Ta let)
0,25
(hệ quả của định lý Ta let)
0,25
(định lý Ta let)
0,25
0,25
b. (2điểm) 
(hai tam giác có chung đường cao, tỷ số diện tích bằng tỷ số hai đáy tương ứng)
0,5
+ Ta có SADC = SBDC ( hai tam giác chung đáy DC và chiều cao bằng nhau) => SADC - SODC = SBDC - SODC
hay 
0,5
0,5
Ta có:
0,5
Câu 2:(2điểm) 
0,5
(1)
0,5
Xét và có BHD=MHA; BDH = AMH (= 900)
DHB vàMHA đồng dạng 
0,25
Chứng minh tương tự ta có :
0,25
Do đó : (2)
0,25
Từ (1) và (2)
0,25
5
(1điểm)
5. (1điểm) 
- Biến đổi ta được:
0,25
- Chứng minh được :
Dấu “ =” xảy ra
0,5
- Suy ra: 
0,25
--------------Hết------------