Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2015 - 2016 (vòng 2) môn: Toán thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
NĂM HỌC 2015-2016 (VÒNG 2) 
Môn: Toán 
Thời gian làm bài: 180 phút 
(Không kể thời gian giao đề) 
Câu 1. (1,5 điểm). Cho a, b, c là các số chính phương. 
 a). Tìm số dư của các phép chia a : 3 và a : 4. 
b). Chứng minh rằng: (a - b)(b - c)(c - a) 12. 
Câu 2. (1,5 điểm). Giải các phương trình sau: 
a). x
2 
 + x + 12 x 1 = 36. 
b). 2x 3 2 x x 4x 4 0       . 
Câu 3. (1,0 điểm). Cho hàm số y = x - 2m - 1 (m là tham số) có đồ thị là đường thẳng 
d. Gọi A, B tương ứng là các giao điểm của đường thẳng d với các trục tọa độ Ox, Oy; I 
là trung điểm của đoạn thẳng AB. 
a). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d bằng 
2
2
 . 
b). Tìm tập hợp các điểm I khi m thay đổi. 
Câu 4. (1,5 điểm). 
 a). Cho 3 số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức: A = 2 2 2 2 2 2x xy y y yz z z zx x        . 
b). Cho a 1, b 1  . Chứng minh rằng: a b 1 b a 1 ab    . 
c). Xác định đa thức bậc bốn P(x), biết P(-1)=0 và P(x) - P(x-1) = x(x+1)(2x+1). 
Câu 5. (3,5 điểm). Cho hình vuông ABCD. Gọi E là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (E 
khác B). Tia AE cắt tia DC tại K. Kẻ đường thẳng vuông góc với AE tại A, đường 
thẳng này cắt đường thẳng CD tại I. 
a). Chứng minh 
2 2
1 1
AE AK
 không đổi khi E thay đổi trên cạnh BC. 
b). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với IE cắt đường thẳng CD tại M. Chứng 
minh rằng: 
1 1 2
AE AK AM
  . 
c). Tìm vị trí của E để độ dài đoạn thẳng IK ngắn nhất. 
Câu 6. (1,0 điểm). Cho số 
3 3 3m 6 6 6 ...    . Hỏi m có phải là số tự nhiên hay 
không trong các trường hợp: 
a). m có 2016 căn bậc ba của 6. 
b). m có vô số căn bậc ba của 6. 
------------------------Hết------------------------ 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
Họ và tên thí sinh: .......................................................Số báo danh:.......................