Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2014 - 2015 môn: Toán ( thời gian làm bài: 150 phút )

PHÒNG GD&ĐT THANH BA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
®Ò chÝnh thøc
NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: TOÁN 
 ( Thời gian làm bài: 150 phút ) 
Câu 1 (3,0 điểm): 
a) ( 1,5 điểm) CMR n4 -10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ (nÎ Z)
b) ( 1,5 điểm) Cho các số A = ; B = ; C = 
 CMR: A + B + C + 8 là số chính phương .	
Câu 2: (4 điểm)
a) Cho . Tính giá trị của B tại .
b) Cho các số thực a, b, c và x, y, z thỏa mãn: và .
Chứng minh rằng: .
Câu 3(4 điểm):
a) Giải phương trình: 
b) Giải hệ phương trình:	 
Câu 4: (7,0 điểm) 
Cho đường tròn (O;). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB.
a. Tính 
b. Chứng minh: 
c. Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.
Câu 5: (2 điểm) 
Cho x2 + y2 = 1. Chøng minh r»ng: 
 - x+ y 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
PHÒNG GD&ĐT THANH BA
HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9
Năm học 2014-2015
Câu
Đáp án
Điểm
1a
( 1,5 điểm)
Đặt A = n4 -10n2 + 9 = (n4 -n2 ) - (9n2 - 9) 
 = (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)
Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k Z) 
A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2) A chia hết cho 16 (1)
Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4 nên (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là bội của 24 A chia hết cho 24 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384
0,25
0,5
0,5
0,25
1b
( 1,5 điểm)
Ta coù: A = ; B = ; C = 
Neân: A + B + C + 8 = + + + 8 
 = 
 = 
 = 
Vậy A + B + C + 8 là số chính phương
0,5
0,5
0,5
2a
(2 điểm)
a) Biến đổi ta có: 
 và 
Suy ra: 
Do đó: 
0,5
0,5
0,5
0,5
2b
(2 điểm)
b) Ta có: 
Suy ra: (1)
Tương tự: (2) và (3)
Cộng theo vế (1), (2), (3) và kết hợp với giả thiết ta được điều phải chứng minh.
0,5
0,5
0,5
0,5
3a
(2 điểm)
a)Giải phương trình: 
Điều kiện: x . Đặt thì . 
Thay vào phương trình đã cho ta được:
 ( Vì ) 
 . Do nên . 
Khi đó x = (Thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là x =
0,5
0,5
0,5
0,5
3b
(2 điểm)
Giải hệ phương trình:	 
Từ 
 (1) 
Tương tự:
 (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) 2(x+ y) =0 x + y = 0y = -x
Thay vào phương trình còn lại của hệ ta được:
3x2 - 5x - 2 =0 x =2 hoặc x = Hệ có nghiệm
(x;y) = (2;-2) hoặc (x;y) = ( ; )
 0,5
0,5
0,5
0,5
4
0,5đ
4a
(2 điểm)
a. Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên:
= = 
= 1 + 1 = 2
0,5 
1,0 
0,5 
4b
(2 điểm)
b. Chứng minh: 
Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH
Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB có MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH
Suy ra: 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
4c
(2,5 điểm)
c. P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH (Vì MK = OH)
Mà OH.MH(Pitago)
Vậy , đẳng thức xẩy ra MH = OH 
OH =
0,75 
0,75
0,5 
0,5 
5
(2 điểm)
Ta cã : x2 – 2xy + y2 0
 2xy x2 + y2 2xy 1 
	 x2 + y 2 + 2xy 2 
	 (x+ y)2 2 
	 - (x+y) 	( §PCM) 	
0,5
0,5
0,5
0,5