Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học: 2011 – 2012 môn: Toán (thời gian làm bài 150 phút)

SỞ GD&ĐT 
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9
NĂM HỌC: 2011 – 2012
Môn: Toán
(Thời gian làm bài 150’)
Ngày thi 16 tháng 3 năm 2012.
Bài 1. (5đ) Cho biểu thức: 
a) Rút gọn P
b) Tìm GTNN của P
Bài 2. (5đ) Giải các pt sau:	
a) 
b) x4 – 2y4 – x2y2 – 4x2 – 7y2 – 5 = 0
Bài 3. (4đ) Cho (O; R). Đường thẳng d không đi qua O cắt (O) tại hai điểm A và B. từ một điểm tùy ý trên d và ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với (O), (M, N là hai tiếp điểm).
a) Dựng vị trí điểm M trên d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.
b) Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M di động trên d.
Bài 4. (4đ) 	a) Tìm GTLN của 
	b) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: . 
Chứng minh: 
Bài 5. (2đ) Cho thay đổi, có AB = 6 và CA = 2CB. Tìm GTLN của diện tích .
----------------------------- HẾT -----------------------------
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỈNH NINH BÌNH 2012
Bài 1: a) ĐK a > 0 và a 2
 b) Ta có với mọi a TMĐK
 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi a=
Bài 2:
Coi PT là bậc hai với ẩn t = x2 ta tính được PT có từ đó ta có
x2 = 2 y2 + 5(1) và x2 = - y2 – 1(vô nghiệm)
Với (1) ta thấy x phải lẻ nên đặt x = 2k+1 suy ra 2k2 + 2k - y2 = 2 do đó y phải chẵn nên đặt y = 2z suy ra k(k+1) – 2z = 1 (vô nghiệm do VT chia hết cho 2 còn vế phải không chia hết cho 2
Bài 3: 
a)Để MONP là hình vuông thì đường chéo OM=ON=R
Dựng điểm M: ta dựng hình vuông OACD, dựng đường tròn tâm O đi qua điểm D, cắt (d) tại M. Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP. Ta có MN =nên ta giác ONM vuông cân tại N. Tương tự, tam giác ta giác OPM cũng vuông cân tại P.
do đó MNOP là hình vuông. Bài toán luôn có hai nghiệm hình vì OM = R>R
b)Ta có: MN và MP là 2 tiếp tuyến của (O) nên MNOP là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM. tâm là trung điểm H của OM, suy ra tam giác cân MPQ nội tiếp trong đường tròn đường kính OM tâm H
+) Kẻ OE vuông góc AB thì E là trung điểm của AB ( cố định). Kẻ HL (d) thì HL//OE nên HL là đường trung bình của tam giác OEM, suy ra HL=1/2 OE(không đổi)
+) Do đó khi M di động trên (d) thì H luôn cách đều (d) một đoạn không đổi nên H chạy trên đường thẳng (d’)//(d) và (d’) đi qua trung điểm của đoạn OE.
+) Ta có : Om là phân giác trong góc NMP kẻ tia phân giác trong cắt đường tròn (O) tại điểm F, khi đó => F trên OM, do đó F là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP
Vậy khi M di động trên (d) thì tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP chạy trên đường tròn (O)
Chú ý: do hình vẽ phức tạp nên dựng hình vuông OACD không vẽ trên trên hình vẽ
Bài 4:
a) áp dụng BĐT ab
ĐK 9 –x20
 ta có 
Vậy giá trị lớn nhất của y là 9/2 khi x=
b) ta có a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
=> 1-3abc=1-ab-bc-ca
=>ab+bc+ca=3abc
mà 12=(a+b+c)2= a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
=> ab+bc+ca=0
=> abc=0
=> a=0 hoặc b=0 hoặc c=0
Nếu a = 0 => 
=>b2+c2+2bc=1
=> 2bc=0
=>(a,b,c) =(0,0,1) hoặc (a,b,c) =(0,1,0)
Nếu b = 0 làm tương tự =>(a,b,c) =(0,0,1) hoặc (a,b,c) =(1,0,0)
Nếu c = 0 làm tương tự =>(a,b,c) =(0,1,0) hoặc (a,b,c) =(1,0,0)
Vậy mội trường hợp ta có P = 1
Bài 5: Đặt BC =x > 0
theo công thức He rông ta có
S= với 
=> S2=
=> S2=
Vậy giá trị điện tích lơn nhất là 12(đvđt) khi x=(đvđd)