Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 7 môn: Toán năm học 2015 – 2016 Trường THCS Trần Mai Ninh

 PGD&ĐT TP Thanh hóa
Trường THCS Trần Mai Ninh
-----------o0o---------
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
MÔN: TOÁN
Năm học 2015 – 2016
Thời gian 120 phút (Không kể thời gian giao đề) 
----------------o0o--------------
Bài 1: (4 điểm) Tính giá trị của biểu thức
A = 
B = 
Bài 2: (4 điểm) 
Tìm x. 
Tìm x,y nguyên biết: 
 Bài 3: (4 điểm) 
Cho đa thức: f(x) = ax2+bx+c 
Biết 13a + b + 2c = 0. Chứng minh f(-2).f(3) ≤ 0
Cho các số thực x,y,z 0 thõa mãn: 
Tính giá trị cuả biểu thức: M = . 
Bài 4: (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, có phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của D, E trên BC
Chứng minh ABM cân.
Chứng minh MN = AB + AC – BC
Tính góc .
Gọi G, K lần lượt là giao điểm của BD và AN, CE và AM. Tia AI cắt GK ở H. Tính góc .
Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi môn toán 7
Năm học 2015-2016
Bài
Câu
Tóm tắt cách giải
Điểm
1
a)
2đ
A = 
2
b)
2đ
Đặt M = 1+3+32++32015
Ta có 3M=3+32+33++32016
3M - M=32016 – 1 => M = 
Khi đó B =- = -	
1,5
0,5
2
a) 
2đ
 hoặc 
 hoặc 
 hoặc 
Vậy hoặc 
 0,5
0,5
0,5
 0,5
b
2đ
Ta có 4 ( x – 2016)2 0 với mọi x nên 25- y2 0 => y2 25
Mà 4 ( x – 2016)2 là số chính phương chẵn => 25 - y2 chẵn
=>y lẻ. 
y2 là số chính phương lẻ, y225 => y2 {1; 9; 25}
+ Nếu y2= 25 => 4 ( x – 2016)2 = 0 => x = 2016
+ Nếu y2 = 9 => 4 ( x – 2016)2 =16 
 => ( x – 2016)2= 4
x - 2016 = 2 hoặc x - 2016 = - 2
x = 2018 hoặc x = 2014 
+ Nếu y2 = 1 => 4 ( x – 2016)2= 24 không phải là số chính phương (loại)
Vậy các cặp số (x, y) tìm được là (2018 ; 3) ; (2014 ; 3) ; 
( 2018 ; -3) ; ( 2014 ; -3) ; ( 2016 ; 5) ; ( 2016 ; - 5).
0,5
0,5
0,5
0,5
3
a)
2đ
Ta có f(3)= 9a + 3b + c f(-2) = 4a - 2b + c
f(3) + f(-2)= 13a + b + 2c = 0 => f(-2) = - f(3) 
f(3).f(-2) = -[f(3)]2 0
0,5
0,5
1,0
b)
2đ
Vì x,y,z 0 nên theo bài ra ta có: 
 => => x = y = z.
Thay x = y = z vào M ta được M = 1.
Bài
Câu
Tóm tắt cách giải
Điểm
 4
a) 2đ
 =(cạnh huyền – góc nhọn) => AB = BM 
=> cân ở B.
b) 2đ
Ta có = => CN = CA
Khi đó AB + AC = BM + CN = BM + MC + MN = BC + MN
MN = AB + AC - BC
c) 2đ
Từ cân ở B => 
Từ cân ở C => 
Trong có 
 = 
 = =
(Vì vuông tại A nên )
Vậy 
d) 2đ
Vì cân ở B nên đường phân giác BD đồng thời là đường cao => hay 
 cân ở C nên đường phân giác CE đồng thời là đường cao => hay 
Trong có 2 đường cao xuất phát từ G, K cắt nhau ở I
 => I là trực tâm của .
 ở H